Задача №16649

А) Решите уравнение
$\sqrt{-\cos 2x}=\cos x+\sin x\text{.}$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$

А) Используем формулу $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\text{,}$ поэтому $-\cos 2x={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\text{.}$ Уравнение: $\sqrt{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}=\cos x+\sin x\text{.}$

Возводим обе части в квадрат при условии $\cos x+\sin x⩾0$ (*):

Перенесём всё в одну сторону: $({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)-(\cos x+\sin x{)}^2=0\text{.}$ Разложим как разность квадратов: $(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)-(\sin x+\cos x{)}^2=0\text{,}$ т.е. $(\cos x+\sin x)(\sin x-\cos x-\cos x-\sin x)=0\text{,}$ $(\cos x+\sin x)(-2\cos x)=0\text{.}$

Получаем два случая:

1) $\cos x+\sin x=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\pi k\text{.}$ При этом обе части исходного уравнения равны нулю, условие (*) выполнено как равенство.

2) $\cos x=0\text{.}$ Если $\cos x=0\text{,}$ то $\sin x=\pm 1\text{.}$ Условие (*) даёт $\sin x⩾0\text{,}$ значит $\sin x=1\text{,}$ $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{.}$

А) Ответ: $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k\text{,}$ $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{,}$ $k,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) Отбор корней на $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$ Из серии $-\frac{\pi }{4}+\pi k$ в этом отрезке лежат: при $k=2$ — $x=\frac{7\pi }{4}\text{;}$ при $k=3$ — $x=\frac{11\pi }{4}\text{.}$ Из серии $\frac{\pi }{2}+2\pi n$ при $n=1$ — $x=\frac{5\pi }{2}\text{.}$

Б) Ответ: $\frac{7\pi }{4}\text{,}$ $\frac{5\pi }{2}\text{,}$ $\frac{11\pi }{4}\text{.}$