А) Решите уравнение sqrt(-cos 2x) = cos x + sin x . Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [(3pi)/(2); 3pi] .

А) Используем формулу cos 2x = cos^2 x - sin^2 x , поэтому -cos 2x = sin^2 x - cos^2 x . Уравнение: sqrt(sin^2 x - cos^2 x) = cos x + sin x . Возводим обе части в квадрат при условии cos x + sin x 0 (*): sin^2 x - cos^2 x = (cos x + sin x)^2. Перенесём всё в одну сторону: (sin^2 x - cos^2 x) - (cos x + sin x)^2 = 0 . Разложим как разность квадратов: (sin x - cos x)(sin x + cos x) - (sin x + cos x)^2 = 0 , т.е. (cos x + sin x)(sin x - cos x - cos x - sin x) = 0 , (cos x + sin x)(-2cos x) = 0 . Получаем два случая: 1) cos x + sin x = 0 => tg x = -1 => x = -(pi)/(4) + pi k . При этом обе части исходного уравнения равны нулю, условие (*) выполнено как равенство. 2) cos x = 0 . Если cos x = 0 , то sin x = +- 1 . Условие (*) даёт sin x 0 , значит sin x = 1 , x = (pi)/(2) + 2pi n . А) Ответ: x = -(pi)/(4) + pi k , x = (pi)/(2) + 2pi n , k, n in Z . Б) Отбор корней на [(3pi)/(2); 3pi] . Из серии -(pi)/(4) + pi k в этом отрезке лежат: при k = 2 — x = (7pi)/(4) ; при k = 3 — x = (11pi)/(4) . Из серии (pi)/(2) + 2pi n при n = 1 — x = (5pi)/(2) . Б) Ответ: (7pi)/(4) , (5pi)/(2) , (11pi)/(4) .

А) $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k$, $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$, $k, n \in \mathbb{Z}$; Б) $\dfrac{7\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{2},\; \dfrac{11\pi}{4}$.