Решите неравенство sqrt(9^x - 3^(x+2)) > 3^x - 9 .

Пусть t = 3^x , где t > 0 . Тогда 9^x = t^2 и 3^(x+2) = 9t . Неравенство примет вид: sqrt(t^2 - 9t) > t - 9. Область допустимых значений (ОДЗ): t^2 - 9t 0 <=> t(t-9) 0. С учётом t > 0 , получаем t 9 . Это соответствует 3^x 9 , то есть x 2 . Рассмотрим решение неравенства на ОДЗ по случаям. 1. Если t = 9 (то есть x = 2 ), то неравенство принимает вид sqrt(0) > 0 , что ложно. Значит, x = 2 не является решением. 2. Если t > 9 (то есть x > 2 ), то правая часть неравенства положительна. Возведём обе части в квадрат: t^2 - 9t > (t-9)^2; t^2 - 9t > t^2 - 18t + 81; 9t > 81; t > 9. Полученное условие t > 9 выполняется для всех значений t из рассматриваемого случая. Таким образом, неравенство верно при всех t > 9 . Перейдём к переменной x : 3^x > 9 => 3^x > 3^2 => x > 2. Ответ: (2; +inf) .

(2; +∞)