Решите неравенство sqrt(9^x - 3^(x+2)) > 3^x - 9 .

Задача №16648: Неравенства

Пусть $t = 3^{x},$ где $t > 0 .$ Тогда $9^{x} = t^{2}$ и $3^{x + 2} = 9 t .$ Неравенство примет вид:

t^{2} - 9 t > t - 9.

Область допустимых значений (ОДЗ):

t^{2} - 9 t ⩾ 0 \Leftrightarrow t (t - 9) ⩾ 0.

С учётом $t > 0,$ получаем $t ⩾ 9 .$ Это соответствует $3^{x} ⩾ 9,$ то есть $x ⩾ 2 .$

Рассмотрим решение неравенства на ОДЗ по случаям.

1. Если $t = 9$ (то есть $x = 2$ ), то неравенство принимает вид $0 > 0,$ что ложно. Значит, $x = 2$ не является решением.

2. Если $t > 9$ (то есть $x > 2$ ), то правая часть неравенства положительна. Возведём обе части в квадрат:

t^{2} - 9 t > (t - 9)^{2};

t^{2} - 9 t > t^{2} - 18 t + 81;

9 t > 81;

t > 9.

Полученное условие $t > 9$ выполняется для всех значений $t$ из рассматриваемого случая.

Таким образом, неравенство верно при всех $t > 9 .$ Перейдём к переменной $x :$

3^{x} > 9 \Rightarrow 3^{x} > 3^{2} \Rightarrow x > 2.

Ответ: $(2; + \infty) .$