Решите неравенство _(1/2) (x^2 + 6x + 9)/(2(x+1)) < -_2(x+1) .

Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Так как выражение под знаком логарифма должно быть положительным: 1. x + 1 > 0 => x > -1 . 2. Числитель дроби x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 . При x > -1 имеем (x+3)^2 > 0 и 2(x+1) > 0 , следовательно, дробь ((x+3)^2)/(2(x+1)) > 0 . Таким образом, ОДЗ: x > -1 . Используя свойство логарифма _(1/a) b = -_a b , перейдём к основанию 2: -_2 ((x+3)^2)/(2(x+1)) < -_2(x+1). Умножим на -1 , поменяв знак неравенства: _2 ((x+3)^2)/(2(x+1)) > _2(x+1). Так как логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастает, перейдём к сравнению аргументов: ((x+3)^2)/(2(x+1)) > x+1. На ОДЗ выражение 2(x+1) всегда положительно, поэтому можно домножить на него обе части неравенства без смены знака: (x+3)^2 > 2(x+1)^2, x^2 + 6x + 9 > 2(x^2 + 2x + 1), x^2 + 6x + 9 > 2x^2 + 4x + 2, x^2 - 2x - 7 < 0. Найдём корни уравнения x^2 - 2x - 7 = 0 : x = (2 +- sqrt(4 + 28))/(2) = (2 +- 4sqrt(2))/(2) = 1 +- 2sqrt(2). Следовательно, решением квадратичного неравенства является интервал (1 - 2sqrt(2);1 + 2sqrt(2)) . Учитывая ОДЗ ( x > -1 ) и тот факт, что 1 - 2sqrt(2) ~ -1,83 < -1 , окончательно получаем: x in (-1;1 + 2sqrt(2)). Ответ: (-1;1 + 2sqrt(2)) .

(-1; 1+2√2)