Задача №16647

Решите неравенство

${\log }_{1/2}\frac{x^2+6x+9}{2(x+1)}<-{\log }_2(x+1)\text{.}$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Так как выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

1. $x+1>0\Rightarrow x>-1\text{.}$
2. Числитель дроби $x^2+6x+9=(x+3{)}^2\text{.}$ При $x>-1$ имеем $(x+3{)}^2>0$ и $2(x+1)>0\text{,}$ следовательно, дробь $\frac{(x+3{)}^2}{2(x+1)}>0\text{.}$

Таким образом, ОДЗ: $x>-1\text{.}$

Используя свойство логарифма ${\log }_{1/a}b=-{\log }_{a}b\text{,}$ перейдём к основанию 2:

$$-{\log }_2\frac{(x+3{)}^2}{2(x+1)}<-{\log }_2(x+1).$$

Умножим на $-1\text{,}$ поменяв знак неравенства:

$${\log }_2\frac{(x+3{)}^2}{2(x+1)}>{\log }_2(x+1).$$

Так как логарифмическая функция с основанием $2>1$ возрастает, перейдём к сравнению аргументов:

$$\frac{(x+3{)}^2}{2(x+1)}>x+1.$$

На ОДЗ выражение $2(x+1)$ всегда положительно, поэтому можно домножить на него обе части неравенства без смены знака:

$$(x+3{)}^2>2(x+1{)}^2,$$ $$x^2+6x+9>2(x^2+2x+1),$$ $$x^2+6x+9>2x^2+4x+2,$$ $$x^2-2x-7<0.$$

Найдём корни уравнения $x^2-2x-7=0\text{:}$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{4+28}}{2}=\frac{2\pm 4\sqrt{2}}{2}=1\pm 2\sqrt{2}.$$

Следовательно, решением квадратичного неравенства является интервал $(1-2\sqrt{2};1+2\sqrt{2})\text{.}$

Учитывая ОДЗ ($x>-1$) и тот факт, что $1-2\sqrt{2}\approx -1,83<-1\text{,}$ окончательно получаем:

$$x\in (-1;1+2\sqrt{2}).$$

Ответ: $(-1;1+2\sqrt{2})\text{.}$