Задача №16645

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

1. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.
2. Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
3. 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
4. 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.
5. К 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

Пусть $D_i$ — долг на 15-е число $i$-го месяца, $D_0=900$ тыс. По условию для $i=1,\dots ,10\text{:}$ $D_i=D_{i-1}-c$ (одна и та же сумма $c$).

Из $D_{10}=200\text{:}$

$$900-10c=200,$$

откуда $c=70\text{.}$

Тогда долги составляют: $D_0=900\text{,}$ $D_1=830\text{,}$ $D_2=760\text{,}$ $\dots \text{,}$ $D_{10}=200\text{,}$ $D_{11}=0\text{.}$

Пусть $k=1+\frac{r}{100}$ — коэффициент роста долга. Платёж в $i$-й месяц:

$$p_i=k\cdot D_{i-1}-D_i.$$

Сумма всех платежей:

$$\sum _{i=1}^{11}{p}_i=k\sum _{i=0}^{10}{D}_i-\sum _{i=1}^{11}{D}_i=1021.$$

Вычислим суммы:

1. ${\sum }_{i=0}^{10}{D}_i$ — сумма арифметической прогрессии от 900 до 200, содержащей 11 членов:

$$\frac{(900+200)\cdot 11}{2}=6050.$$

2. ${\sum }_{i=1}^{11}{D}_i=D_1+D_2+\dots +D_{10}+D_{11}\text{.}$ Это сумма арифметической прогрессии от 830 до 200 (10 членов) плюс $D_{11}=0\text{:}$

$$\frac{(830+200)\cdot 10}{2}+0=5150.$$

Подставим значения в уравнение:

$$6050k-5150=1021\Rightarrow 6050k=6171\Rightarrow k=\frac{6171}{6050}=1,02.$$

Найдём $r\text{:}$

$$r=100\cdot (k-1)=2.$$

Ответ: 2.