Задача №16644

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $8\text{,}$ а боковое ребро $SA$ равно $5\text{.}$ На рёбрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $L$ и $N$ соответственно, причём $AL:LB=SN:NC=1:3\text{.}$ Плоскость $\alpha$ содержит прямую $LN$ и параллельна прямой $BC\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA\text{.}$
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC\text{.}$

а) Доказательство.

Введём векторы $\vec{a}=\overrightarrow{AB}\text{,}$ $\vec{c}=\overrightarrow{AC}\text{,}$ $\vec{s}=\overrightarrow{AS}\text{.}$ Тогда:

1. $\overrightarrow{AL}=\frac{1}{4}\vec{a}$ (так как $AL:LB=1:3$).
2. $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SN}=\vec{s}+\frac{1}{4}\overrightarrow{SC}=\vec{s}+\frac{1}{4}(\vec{c}-\vec{s})=\frac{3}{4}\vec{s}+\frac{1}{4}\vec{c}\text{.}$
3. $\overrightarrow{LN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AL}=\frac{3}{4}\vec{s}+\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{4}\vec{a}\text{.}$
4. $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{a}\text{.}$

Проверим, что $\vec{s}$ выражается линейно через $\overrightarrow{LN}$ и $\overrightarrow{BC}\text{:}$

$$\overrightarrow{LN}-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{4}\vec{s}+\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{4}\vec{a}-\frac{1}{4}(\vec{c}-\vec{a})=\frac{3}{4}\vec{s}.$$

Значит, $\vec{s}=\frac{4}{3}\overrightarrow{LN}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\text{.}$ Это показывает, что направление $SA$ лежит в направляющей плоскости $\alpha \text{.}$

Остаётся проверить, что точка $A$ не принадлежит $\alpha \text{.}$ Если бы $A\in \alpha \text{,}$ то $\overrightarrow{LA}=-\frac{1}{4}\vec{a}$ был бы линейной комбинацией $\overrightarrow{LN}$ и $\overrightarrow{BC}\text{.}$ Приравнивание коэффициентов при $\vec{s}$ в этом случае привело бы к $0=\frac{3}{4}$ — противоречие. Значит, $A\notin \alpha \text{,}$ и потому $SA\parallel \alpha \text{.}$

б) Найдём угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC\text{.}$

Введём систему координат: $A(0;0;0)\text{,}$ $B(8;0;0)\text{,}$ $C(4;4\sqrt{3};0)\text{.}$ Центроид основания $O\left(4;\frac{4\sqrt{3}}{3};0\right)\text{.}$

Высота пирамиды $SO\text{:}$

$$S{O}^2=S{A}^2-A{O}^2=25-\frac{192}{9}=\frac{33}{9}.$$

Следовательно, $SO=\frac{\sqrt{33}}{3}$ и вершина $S\left(4;\frac{4\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{33}}{3}\right)\text{.}$

Координаты точек:
$L(2;0;0)\text{,}$
$N=\frac{3}{4}S+\frac{1}{4}C=\left(4;2\sqrt{3};\frac{\sqrt{33}}{4}\right)\text{.}$

Направляющие векторы плоскости $\alpha \text{:}$
$\overrightarrow{LN}=\left(2;2\sqrt{3};\frac{\sqrt{33}}{4}\right)\text{,}$ $\overrightarrow{BC}=(-4;4\sqrt{3};0)\text{.}$

Вектор нормали к $\alpha \text{:}$

$${\vec{n}}_{\alpha }=\overrightarrow{LN}\times \overrightarrow{BC}=(-3\sqrt{11};-\sqrt{33};16\sqrt{3}).$$ $$|{\vec{n}}_{\alpha }|=\sqrt{99+33+768}=\sqrt{900}=30.$$

Вектор нормали к $SBC$ (используем $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}$). Для упрощения возьмём сонаправленный вектор ${\vec{n}}_{\beta }^{\prime }=(12\sqrt{11};4\sqrt{33};32\sqrt{3})\text{:}$

$$|{\vec{n}}_{\beta }^{\prime }|=\sqrt{1584+528+3072}=\sqrt{5184}=72.$$

Скалярное произведение:

$${\vec{n}}_{\alpha }\cdot {\vec{n}}_{\beta }^{\prime }=(-3\sqrt{11})(12\sqrt{11})+(-\sqrt{33})(4\sqrt{33})+(16\sqrt{3})(32\sqrt{3})=-396-132+1536=1008.$$ $$\cos \phi =\frac{|1008|}{30\cdot 72}=\frac{1008}{2160}=\frac{7}{15}.$$

Ответ: $\arccos \frac{7}{15}$ (или $\mathrm{arctg}\frac{4\sqrt{11}}{7}$).