В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 8 , а боковое ребро SA равно 5 . На рёбрах AB и SC отмечены точки L и N соответственно, причём AL : LB = SN : NC = 1 : 3 . Плоскость alpha содержит прямую LN и параллельна прямой BC . а) Докажите, что плоскость alpha параллельна прямой SA . б) Найдите угол между плоскостями alpha и SBC .

а) Доказательство. Введём векторы a = AB , c = AC , s = AS . Тогда: 1. AL = (1)/(4)a (так как AL : LB = 1 : 3 ). 2. AN = AS + SN = s + (1)/(4)SC = s + (1)/(4)(c - s) = (3)/(4)s + (1)/(4)c . 3. LN = AN - AL = (3)/(4)s + (1)/(4)c - (1)/(4)a . 4. BC = c - a . Проверим, что s выражается линейно через LN и BC : LN - (1)/(4)BC = (3)/(4)s + (1)/(4)c - (1)/(4)a - (1)/(4)(c - a) = (3)/(4)s. Значит, s = (4)/(3)LN - (1)/(3)BC . Это показывает, что направление SA лежит в направляющей плоскости alpha . Остаётся проверить, что точка A не принадлежит alpha . Если бы A in alpha , то LA = -(1)/(4)a был бы линейной комбинацией LN и BC . Приравнивание коэффициентов при s в этом случае привело бы к 0 = (3)/(4) — противоречие. Значит, A not in alpha , и потому SA alpha . б) Найдём угол между плоскостями alpha и SBC . Введём систему координат: A(0;0;0) , B(8;0;0) , C(4;4sqrt(3);0) . Центроид основания O(4;(4sqrt(3))/(3);0) . Высота пирамиды SO : SO^2 = SA^2 - AO^2 = 25 - (192)/(9) = (33)/(9). Следовательно, SO = (sqrt(33))/(3) и вершина S(4;(4sqrt(3))/(3);(sqrt(33))/(3)) . Координаты точек: L(2;0;0) , N = (3)/(4)S + (1)/(4)C = (4;2sqrt(3);(sqrt(33))/(4)) . Направляющие векторы плоскости alpha : LN = (2;2sqrt(3);(sqrt(33))/(4)) , BC = (-4;4sqrt(3);0) . Вектор нормали к alpha : n_alpha = LN * BC = (-3sqrt(11);-sqrt(33);16sqrt(3)). |n_alpha| = sqrt(99 + 33 + 768) = sqrt(900) = 30. Вектор нормали к SBC (используем SB * SC ). Для упрощения возьмём сонаправленный вектор n_beta' = (12sqrt(11);4sqrt(33);32sqrt(3)) : |n_beta'| = sqrt(1584 + 528 + 3072) = sqrt(5184) = 72. Скалярное произведение: n_alpha * n_beta' = (-3sqrt(11))(12sqrt(11)) + (-sqrt(33))(4sqrt(33)) + (16sqrt(3))(32sqrt(3)) = -396 - 132 + 1536 = 1008. cos = (|1008|)/(30 * 72) = (1008)/(2160) = (7)/(15). Ответ: arccos(7)/(15) (или arctg(4sqrt(11))/(7) ).

arccos(7/15)