Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Найдите все значения параметра a, при которых корни уравнения
(a−1)log32(x−2)−2(a+1)log3(x−2)+a−3=0меньше 3.
Сделаем замену t=log3(x−2). Уравнение принимает вид:
(a−1)t2−2(a+1)t+(a−3)=0.(*)Условие задачи x<3⇔x−2<1⇔log3(x−2)<0 (функция log3 возрастающая), т.е. t<0. Из ОДЗ x>2 переменная t может принимать любое значение, и нужно лишь t<0.
Условие задачи: все корни уравнения (*) меньше нуля.
Случай 1: a=1. Уравнение (*) превращается в линейное: −4t−2=0, t=−0,5<0. Условие выполнено, значит a=1 — решение.
Случай 2: a=1. Введём f(t)=(a−1)t2−2(a+1)t+(a−3). Парабола y=f(t) имеет корни, и оба должны быть отрицательными. Это эквивалентно системе:
⎩⎨⎧4D=(a+1)2−(a−1)(a−3)⩾0,t0=a−1a+1<0(абсцисса вершины),(a−1)f(0)>0(знак f в нуле).Раскроем дискриминант:
(a+1)2−(a−1)(a−3)=a2+2a+1−(a2−4a+3)=6a−2⩾0⇔a⩾31. a−1a+1<0⇔−1<a<1. (a−1)(a−3)>0⇔a<1 или a>3.Пересечение трёх условий: 31⩽a<1.
Объединение случаев 1 и 2: a∈[31;1].
Ответ: a∈[31;1].