Найдите все значения параметра a , при которых корни уравнения (a - 1)_3^2(x - 2) - 2(a + 1)_3(x - 2) + a - 3 = 0 меньше 3.

Сделаем замену t = _3(x - 2) . Уравнение принимает вид: (a - 1)t^2 - 2(a + 1)t + (a - 3) = 0. * Условие задачи x < 3 <=> x - 2 < 1 <=> _3(x - 2) < 0 (функция _3 возрастающая), т.е. t < 0 . Из ОДЗ x > 2 переменная t может принимать любое значение, и нужно лишь t < 0 . Условие задачи: все корни уравнения (*) меньше нуля. Случай 1: a = 1 . Уравнение (*) превращается в линейное: -4t - 2 = 0 , t = -0,5 < 0 . Условие выполнено, значит a = 1 — решение. Случай 2: a != 1 . Введём f(t) = (a - 1)t^2 - 2(a + 1)t + (a - 3) . Парабола y = f(t) имеет корни, и оба должны быть отрицательными. Это эквивалентно системе: cases (D)/(4) = (a + 1)^2 - (a - 1)(a - 3) 0, t_0 = (a + 1)/(a - 1) < 0 (абсцисса вершины), (a - 1)f(0) > 0 (знак f в нуле). cases Раскроем дискриминант: (a + 1)^2 - (a - 1)(a - 3) = a^2 + 2a + 1 - (a^2 - 4a + 3) = 6a - 2 0 <=> a (1)/(3). (a + 1)/(a - 1) < 0 <=> -1 < a < 1. (a - 1)(a - 3) > 0 <=> a < 1 или a > 3. Пересечение трёх условий: (1)/(3) a < 1 . Объединение случаев 1 и 2: a in [(1)/(3);1] . Ответ: a in [(1)/(3);1] .

$a \in \left[\dfrac{1}{3};\; 1\right]$.