Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK:KC=3:7. На рёбрах AD, DB и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 3.
а) Докажите, что рёбра AB и CD взаимно перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объём тетраэдра равен 100.
а) Плоскость KLMN пересекает рёбра AC,AD,DB,BC тетраэдра. Рассмотрим её сечение треугольника ACD: K∈AC, L∈AD. По свойству секущей плоскости в треугольнике ACD, если KL — линия пересечения с плоскостью KLMN, и эта плоскость пересекает CD только за пределами треугольника (либо параллельна CD), то KL∥CD. Это верно для плоского четырёхугольника KLMN, лежащего в плоскости, не пересекающей CD.
Из подобия △AKL∼△ACD следует KL∥CD и
CDKL=ACAK=103.Аналогично из треугольника ACB: K∈AC, N∈BC, и KN∥AB,
ABKN=ACKC=107.Из треугольников ABD и BCD аналогично получаем LM∥AB и NM∥CD.
В квадрате KLMN соседние стороны KL⊥KN. Так как KL∥CD, KN∥AB, получаем:
AB⊥CD.б) Из того, что KL=KN=3, следует:
CD3=103⇒CD=10; AB3=107⇒AB=730.Для тетраэдра, у которого два скрещивающихся ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, объём выражается через расстояние d между прямыми AB и CD:
V=61⋅AB⋅CD⋅d.Подставим V=100:
100=61⋅730⋅10⋅d=750d⇒d=14.Плоскость KLMN содержит KN∥AB и KL∥CD, значит, она параллельна обеим прямым AB и CD. Тогда плоскость KLMN перпендикулярна общему перпендикуляру прямых AB и CD длины 14.
Пусть P — основание общего перпендикуляра на AB, Q — на CD. Плоскость KLMN пересекает отрезок PQ в точке R. Поскольку K∈AC и делит AC в отношении AK:KC=3:7, точка R делит PQ в том же отношении 3:7 (считая от AB):
PR=103⋅PQ=103⋅14=4,2.Расстояние от точки B (лежащей на прямой AB) до плоскости KLMN равно PR=4,2.
Ответ: 4,2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин