Дан тетраэдр ABCD . На ребре AC выбрана точка K так, что AK : KC = 3 : 7 . На рёбрах AD , DB и BC выбраны точки L , M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 3 . а) Докажите, что рёбра AB и CD взаимно перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN , если объём тетраэдра равен 100 .

а) Плоскость KLMN пересекает рёбра AC, AD, DB, BC тетраэдра. Рассмотрим её сечение треугольника ACD : K in AC , L in AD . По свойству секущей плоскости в треугольнике ACD , если KL — линия пересечения с плоскостью KLMN , и эта плоскость пересекает CD только за пределами треугольника (либо параллельна CD ), то KL CD . Это верно для плоского четырёхугольника KLMN , лежащего в плоскости, не пересекающей CD . Из подобия AKL ACD следует KL CD и (KL)/(CD) = (AK)/(AC) = (3)/(10). Аналогично из треугольника ACB : K in AC , N in BC , и KN AB , (KN)/(AB) = (KC)/(AC) = (7)/(10). Из треугольников ABD и BCD аналогично получаем LM AB и NM CD . В квадрате KLMN соседние стороны KL KN . Так как KL CD , KN AB , получаем: AB CD. б) Из того, что KL = KN = 3 , следует: (3)/(CD) = (3)/(10) => CD = 10; (3)/(AB) = (7)/(10) => AB = (30)/(7). Для тетраэдра, у которого два скрещивающихся ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, объём выражается через расстояние d между прямыми AB и CD : V = (1)/(6) * AB * CD * d. Подставим V = 100 : 100 = (1)/(6) * (30)/(7) * 10 * d = (50d)/(7) => d = 14. Плоскость KLMN содержит KN AB и KL CD , значит, она параллельна обеим прямым AB и CD . Тогда плоскость KLMN перпендикулярна общему перпендикуляру прямых AB и CD длины 14 . Пусть P — основание общего перпендикуляра на AB , Q — на CD . Плоскость KLMN пересекает отрезок PQ в точке R . Поскольку K in AC и делит AC в отношении AK : KC = 3 : 7 , точка R делит PQ в том же отношении 3 : 7 (считая от AB ): PR = (3)/(10) * PQ = (3)/(10) * 14 = 4,2. Расстояние от точки B (лежащей на прямой AB ) до плоскости KLMN равно PR = 4,2 . Ответ: 4,2.

21/5