Решите неравенство (sqrt((x-1)(x-2) _(x^(2)) 2x^(2)))/(|x+2|) > (x^(2) - 3x + 1 + _(|x|) sqrt(2))/(x+2).

Преобразуем выражения, входящие в неравенство: _(x^(2)) (2)/(x^(2)) = _(x^(2)) 2 - _(x^(2)) x^(2) = _(x^(2)) 2 - 1; _(|x|) sqrt(2) = (log sqrt(2))/(log |x|) = (1/2 log 2)/(1/2 log x^(2)) = _(x^(2)) 2; x^(2) - 3x + 1 = (x-1)(x-2) - 1. Неравенство принимает вид: (sqrt((x-1)(x-2) (_(x^(2)) 2 - 1)))/(|x+2|) > ((x-1)(x-2) + (_(x^(2)) 2 - 1))/(x+2). Определим область допустимых значений (ОДЗ): x^(2) > 0, x^(2) != 1, x + 2 != 0, (x-1)(x-2) (_(x^(2)) 2 - 1) 0. Применим метод рационализации для последнего неравенства: при x^(2) > 0 , x^(2) != 1 выражение _(x^(2)) 2 - 1 = _(x^(2)) 2 - _(x^(2)) x^(2) имеет тот же знак, что и произведение (x^(2)-1)(2-x^(2)) . Значит, неравенство ОДЗ равносильно: (x-1)(x-2)(x^(2)-1)(2-x^(2)) 0 <=> (x-1)^(2)(x+1)(x-2)(x-sqrt(2))(x+sqrt(2)) 0. С учётом x != 0 , x != +- 1 , x != -2 , получаем ОДЗ: x in (-sqrt(2); -1) U [sqrt(2); 2]. На всей ОДЗ x > -2 , поэтому |x + 2| = x + 2 > 0 . Умножая неравенство на x + 2 , приходим к равносильному: sqrt((x-1)(x-2) (_(x^(2)) 2 - 1)) > (x-1)(x-2) + (_(x^(2)) 2 - 1). Обозначим a = (x-1)(x-2) , b = _(x^(2)) 2 - 1 . На ОДЗ ab 0 , и неравенство принимает вид sqrt(ab) > a + b . Это равносильно совокупности: cases a + b < 0, ab 0 cases или cases a + b 0, ab > (a + b)^(2). cases Второй случай невозможен: ab > (a+b)^(2) <=> a^(2) + ab + b^(2) < 0, что невыполнимо, так как a^(2) + ab + b^(2) = (a + b/2)^(2) + 3b^(2)/4 0 . Остаётся первый случай. Поскольку ab 0 верно на ОДЗ, исследуем неравенство a + b < 0 , то есть: f(x) + g(x) < 0, где f(x) = (x-1)(x-2), g(x) = _(x^(2)) 2 - 1. Рассмотрим знаки функций: 1. Знаки f(x) : f(x) > 0 при x < 1 или x > 2 ; f(x) < 0 при 1 < x < 2 ; f(1) = f(2) = 0 . 2. Знаки g(x) (при x != 0 , x != +- 1 ): g(x) < 0 при |x| < 1 или |x| > sqrt(2) ; g(x) > 0 при 1 < |x| < sqrt(2) ; g(+-sqrt(2)) = 0 . Проанализируем промежутки ОДЗ: — На промежутке x in (-sqrt(2); -1) : f(x) > 0 , g(x) > 0 => f(x) + g(x) > 0 — неравенство не выполнено. — На отрезке x in [sqrt(2); 2] : * при x = sqrt(2) : f(sqrt(2)) = (sqrt(2)-1)(sqrt(2)-2) < 0 , g(sqrt(2)) = 0 => f(x) + g(x) < 0 ; * при sqrt(2) < x < 2 : f(x) < 0 , g(x) < 0 => f(x) + g(x) < 0 ; * при x = 2 : f(2) = 0 , g(2) = _(4) 2 - 1 = -1/2 < 0 => f(x) + g(x) < 0 . На всём отрезке неравенство выполнено. Ответ: [sqrt(2); 2] .

$\left[\sqrt{2};\,2\right]$