Задача №16632

Решите неравенство

$$\frac{\sqrt{(x-1)(x-2){\log }_{x^2}\frac{2}{x^2}}}{|x+2|}>\frac{x^2-3x+1+{\log }_{|x|}\sqrt{2}}{x+2}.$$

Преобразуем выражения, входящие в неравенство:

$${\log }_{x^2}\frac{2}{x^2}={\log }_{x^2}2-{\log }_{x^2}{x}^2={\log }_{x^2}2-1;$$ $${\log }_{|x|}\sqrt{2}=\frac{\log \sqrt{2}}{\log |x|}=\frac{1/2\log 2}{1/2\log x^2}={\log }_{x^2}2;$$ $$x^2-3x+1=(x-1)(x-2)-1.$$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{\sqrt{(x-1)(x-2)({\log }_{x^2}2-1)}}{|x+2|}>\frac{(x-1)(x-2)+({\log }_{x^2}2-1)}{x+2}.$$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$$x^2>0,x^2\ne 1,x+2\ne 0,(x-1)(x-2)({\log }_{x^2}2-1)⩾0.$$

Применим метод рационализации для последнего неравенства: при $x^2>0\text{,}$ $x^2\ne 1$ выражение ${\log }_{x^2}2-1={\log }_{x^2}2-{\log }_{x^2}{x}^2$ имеет тот же знак, что и произведение $(x^2-1)(2-x^2)\text{.}$ Значит, неравенство ОДЗ равносильно:

$$(x-1)(x-2)(x^2-1)(2-x^2)⩾0\iff (x-1{)}^2(x+1)(x-2)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})⩽0.$$

С учётом $x\ne 0\text{,}$ $x\ne \pm 1\text{,}$ $x\ne -2\text{,}$ получаем ОДЗ:

$$x\in (-\sqrt{2};-1)\cup [\sqrt{2};2].$$

На всей ОДЗ $x>-2\text{,}$ поэтому $|x+2|=x+2>0\text{.}$ Умножая неравенство на $x+2\text{,}$ приходим к равносильному:

$$\sqrt{(x-1)(x-2)({\log }_{x^2}2-1)}>(x-1)(x-2)+({\log }_{x^2}2-1).$$

Обозначим $a=(x-1)(x-2)\text{,}$ $b={\log }_{x^2}2-1\text{.}$ На ОДЗ $ab⩾0\text{,}$ и неравенство принимает вид $\sqrt{ab}>a+b\text{.}$ Это равносильно совокупности:

$$\{\begin{array}{l}a+b<0,\\ ab⩾0\end{array}\text{или}\{\begin{array}{l}a+b⩾0,\\ ab>(a+b{)}^2.\end{array}$$

Второй случай невозможен:

$$ab>(a+b{)}^2\iff a^2+ab+b^2<0,$$

что невыполнимо, так как $a^2+ab+b^2=(a+b/2{)}^2+3b^2/4⩾0\text{.}$

Остаётся первый случай. Поскольку $ab⩾0$ верно на ОДЗ, исследуем неравенство $a+b<0\text{,}$ то есть:

$$f(x)+g(x)<0,\text{где}f(x)=(x-1)(x-2),g(x)={\log }_{x^2}2-1.$$

Рассмотрим знаки функций:

1. Знаки $f(x)\text{:}$ $f(x)>0$ при $x<1$ или $x>2\text{;}$ $f(x)<0$ при $1<x<2\text{;}$ $f(1)=f(2)=0\text{.}$
2. Знаки $g(x)$ (при $x\ne 0\text{,}$ $x\ne \pm 1$): $g(x)<0$ при $|x|<1$ или $|x|>\sqrt{2}\text{;}$ $g(x)>0$ при $1<|x|<\sqrt{2}\text{;}$ $g(\pm \sqrt{2})=0\text{.}$

Проанализируем промежутки ОДЗ:

— На промежутке $x\in (-\sqrt{2};-1)\text{:}$ $f(x)>0\text{,}$ $g(x)>0\Rightarrow f(x)+g(x)>0$ — неравенство не выполнено.

— На отрезке $x\in [\sqrt{2};2]\text{:}$

• при $x=\sqrt{2}\text{:}$ $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)<0\text{,}$ $g(\sqrt{2})=0\Rightarrow f(x)+g(x)<0\text{;}$
• при $\sqrt{2}<x<2\text{:}$ $f(x)<0\text{,}$ $g(x)<0\Rightarrow f(x)+g(x)<0\text{;}$
• при $x=2\text{:}$ $f(2)=0\text{,}$ $g(2)={\log }_{4}2-1=-1/2<0\Rightarrow f(x)+g(x)<0\text{.}$

На всём отрезке неравенство выполнено.

Ответ: $[\sqrt{2};2]\text{.}$