В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через середину высоты проведено сечение A_1B_1C_1D_1 параллельно основанию, диагонали которого пересекаются в точке O_1 . На ребрах AD и SB отмечены точки K и M соответственно так, что AK : KD = 3 : 5 , SM : MB = 3 : 1 . а) Докажите, что плоскость KMO_1 параллельна SA . б) Найдите угол между плоскостью KMO_1 и плоскостью ABC , если боковые ребра пирамиды SABCD наклонены к плоскости основания под углом 60^ .

Введём систему координат. Пусть сторона основания a = 2 . Центр O основания — в начале координат: A(1;-1;0) , B(1;1;0) , C(-1;1;0) , D(-1;-1;0) , S(0;0;H) . Половина диагонали основания |OA| = sqrt(2) . Поскольку SAO = 60^ , найдём высоту H : tg 60^ = (H)/(|OA|) = (H)/(sqrt(2)) => H = sqrt(2) * sqrt(3) = sqrt(6). Сечение A_1 B_1 C_1 D_1 проходит через середину высоты, следовательно, его центр: O_1(0;0;(sqrt(6))/(2)) . Точка K лежит на AD и делит его в отношении AK : KD = 3 : 5 : K = A + (3)/(8)(D - A) = (1 - (3)/(4);-1;0) = ((1)/(4);-1;0). Точка M лежит на SB и делит его в отношении SM : MB = 3 : 1 : M = S + (3)/(4)(B - S) = ((3)/(4);(3)/(4);(sqrt(6))/(4)). а) Докажем параллельность SA плоскости KMO_1 . Найдём векторы: SA = (1;-1;-sqrt(6)) . KM = ((1)/(2);(7)/(4);(sqrt(6))/(4)) , KO_1 = (-(1)/(4);1;(sqrt(6))/(2)) . Проверим, существуют ли такие alpha и beta , что SA = alpha KM + beta KO_1 : cases (alpha)/(2) - (beta)/(4) = 1, (7alpha)/(4) + beta = -1, ((6))/(4) + ((6))/(2) = -sqrt(6). cases Решим первые два уравнения: умножим первое на 4: 2alpha - beta = 4 . Сложим со вторым: (2 + (7)/(4))alpha = 3 => (15)/(4)alpha = 3 => alpha = (4)/(5) . Тогда beta = 2 * (4)/(5) - 4 = (8 - 20)/(5) = -(12)/(5) . Подставим в третье уравнение: (4)/(5) * (sqrt(6))/(4) - (12)/(5) * (sqrt(6))/(2) = (sqrt(6))/(5) - (6sqrt(6))/(5) = -sqrt(6) . Равенство верно. Следовательно, SA параллелен плоскости KMO_1 . Проверим, не лежит ли точка A в этой плоскости. Уравнение плоскости KMO_1 имеет нормаль n = (2sqrt(6);-sqrt(6);3) и проходит через K : 2sqrt(6)x - sqrt(6)y + 3z = (3sqrt(6))/(2). Подставим координаты A(1;-1;0) : 2sqrt(6) + sqrt(6) = 3sqrt(6) != (3sqrt(6))/(2) . Точка A не лежит в плоскости. Значит, SA KMO_1 . б) Найдем угол между плоскостью KMO_1 и плоскостью ABC . Нормаль к KMO_1 есть векторное произведение n = [KM * KO_1] : 1. n_x = (7)/(4) * (sqrt(6))/(2) - (sqrt(6))/(4) * 1 = (7sqrt(6))/(8) - (2sqrt(6))/(8) = (5sqrt(6))/(8) ; 2. n_y = -((1)/(2) * (sqrt(6))/(2) - (sqrt(6))/(4) * (-(1)/(4))) = -((sqrt(6))/(4) + (sqrt(6))/(16)) = -(5sqrt(6))/(16) ; 3. n_z = (1)/(2) * 1 - (7)/(4) * (-(1)/(4)) = (1)/(2) + (7)/(16) = (15)/(16) . Возьмём коллинеарный вектор n' = (2sqrt(6);-sqrt(6);3) . Его длина |n'| = sqrt(24 + 6 + 9) = sqrt(39) . Нормаль к плоскости ABC — вектор n_0 = (0;0;1) . cos = (|n' * n_0|)/(|n'| * |n_0|) = (3)/(sqrt(39)). Тогда tg = (sqrt(1 - cos^2 ))/(cos ) = (sqrt(1 - 9/39))/(3/sqrt(39)) = (sqrt(30/39))/(3/sqrt(39)) = (sqrt(30))/(3). Ответ: arctg (sqrt(30))/(3) .

А) доказательство; Б) arctg(√30 / 3)