Задача №16625

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону

$$v(t)=6\sin \left(\frac{\pi t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)$$

(см/с), где $t$ — время в секундах. Какую долю времени из первых 10 секунд скорость движения превышала 3 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Скорость задаётся функцией $v(t)=6\sin \left(\frac{\pi t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)\text{.}$

Условие, что скорость превышает 3 см/с:

$$v(t)>3\iff 6\sin \left(\frac{\pi t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)>3\iff \sin \left(\frac{\pi t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)>\frac{1}{2}.$$

Сделаем замену $u=\frac{\pi t}{3}+\frac{\pi }{4}\text{.}$ При $t\in [0;10]$ аргумент $u$ меняется в пределах:

$$u\in \left[\frac{\pi }{4};\frac{10\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right]=\left[\frac{\pi }{4};\frac{43\pi }{12}\right].$$

Длина исследуемого интервала $u$ составляет:

$$\frac{43\pi }{12}-\frac{3\pi }{12}=\frac{40\pi }{12}.$$

Неравенство $\sin u>\frac{1}{2}$ выполняется при $u\in \left(\frac{\pi }{6}+2\pi k;\frac{5\pi }{6}+2\pi k\right)\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Рассмотрим пересечения этих интервалов с промежутком $\left[\frac{\pi }{4};\frac{43\pi }{12}\right]\text{:}$

1. При $k=0\text{:}$ $\left[\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{6}\right]\text{.}$ Длина составляет $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=\frac{10\pi -3\pi }{12}=\frac{7\pi }{12}\text{.}$

2. При $k=1\text{:}$ $\left[\frac{13\pi }{6};\frac{17\pi }{6}\right]=\left[\frac{26\pi }{12};\frac{34\pi }{12}\right]\text{.}$ Этот интервал полностью входит в заданный промежуток. Его длина составляет $\frac{8\pi }{12}\text{.}$

3. При $k=2\text{:}$ начало интервала $\frac{25\pi }{6}=\frac{50\pi }{12}\text{,}$ что больше $\frac{43\pi }{12}\text{,}$ следовательно, этот случай не даёт решений в заданном диапазоне.

Суммарная длина благоприятных интервалов переменной $u\text{:}$

$$\frac{7\pi }{12}+\frac{8\pi }{12}=\frac{15\pi }{12}.$$

Найдём долю времени как отношение суммарной благоприятной длины к общей длине интервала изменения $u\text{:}$

$$\frac{15\pi /12}{40\pi /12}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}=0,375.$$

Ответ: 0,375.