Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t) = 6sin((pi t)/(3) + (pi)/(4)) (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых 10 секунд скорость движения превышала 3 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Скорость задаётся функцией v(t) = 6sin((pi t)/(3) + (pi)/(4)) . Условие, что скорость превышает 3 см/с: v(t) > 3 <=> 6sin((pi t)/(3) + (pi)/(4)) > 3 <=> sin((pi t)/(3) + (pi)/(4)) > (1)/(2). Сделаем замену u = (pi t)/(3) + (pi)/(4) . При t in [0; 10] аргумент u меняется в пределах: u in [(pi)/(4); (10pi)/(3) + (pi)/(4)] = [(pi)/(4); (43pi)/(12)]. Длина исследуемого интервала u составляет: (43pi)/(12) - (3pi)/(12) = (40pi)/(12). Неравенство sin u > (1)/(2) выполняется при u in ((pi)/(6) + 2pi k; (5pi)/(6) + 2pi k) , где k in Z . Рассмотрим пересечения этих интервалов с промежутком [(pi)/(4); (43pi)/(12)] : 1. При k = 0 : [(pi)/(4); (5pi)/(6)] . Длина составляет (5pi)/(6) - (pi)/(4) = (10pi - 3pi)/(12) = (7pi)/(12) . 2. При k = 1 : [(13pi)/(6); (17pi)/(6)] = [(26pi)/(12); (34pi)/(12)] . Этот интервал полностью входит в заданный промежуток. Его длина составляет (8pi)/(12) . 3. При k = 2 : начало интервала (25pi)/(6) = (50pi)/(12) , что больше (43pi)/(12) , следовательно, этот случай не даёт решений в заданном диапазоне. Суммарная длина благоприятных интервалов переменной u : (7pi)/(12) + (8pi)/(12) = (15pi)/(12). Найдём долю времени как отношение суммарной благоприятной длины к общей длине интервала изменения u : (15pi/12)/(40pi/12) = (15)/(40) = (3)/(8) = 0,375. Ответ: 0,375.

0,375