Задача №16617

Найдите наименьшее значение функции $y=2x+\frac{27}{x^2}+7$ на отрезке $[1,5;6]\text{.}$

Функция $y(x)=2x+\frac{27}{x^2}+7$ определена и дифференцируема на отрезке $[1,5;6]$ (так как $x\ne 0$).

Найдём производную:

Приравняем к нулю:

Точка $x=3$ принадлежит $[1,5;6]\text{.}$ При $x<3$ выполнено $\frac{54}{x^3}>2\text{,}$ то есть $y^{\prime }(x)<0$ (функция убывает); при $x>3$ — $y^{\prime }(x)>0$ (функция возрастает). Значит, $x=3$ — точка минимума на этом отрезке.

Вычислим:

Ответ: 16.