Найдите наименьшее значение функции y = 2x + (27)/(x^(2)) + 7 на отрезке [1,5; 6] .

Функция y(x) = 2x + (27)/(x^(2)) + 7 определена и дифференцируема на отрезке [1,5; 6] (так как x != 0 ). Найдём производную: y'(x) = 2 - (54)/(x^(3)). Приравняем к нулю: 2 - (54)/(x^(3)) = 0 <=> x^(3) = 27 <=> x = 3. Точка x = 3 принадлежит [1,5; 6] . При x < 3 выполнено (54)/(x^(3)) > 2 , то есть y'(x) < 0 (функция убывает); при x > 3 — y'(x) > 0 (функция возрастает). Значит, x = 3 — точка минимума на этом отрезке. Вычислим: y(3) = 2 * 3 + (27)/(9) + 7 = 6 + 3 + 7 = 16. Ответ: 16.

16