Задача №16601

А) Решите уравнение

$$\mathrm{tg}x\cdot (1-2\sin x)-2\cos x=-\sqrt{3}.$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

А) Решим уравнение

$$\mathrm{tg}x\cdot (1-2\sin x)-2\cos x=-\sqrt{3}.$$

ОДЗ: $\cos x\ne 0\text{.}$

Умножим обе части на $\cos x\text{:}$

$$\sin x(1-2\sin x)-2{\cos }^{2}x=-\sqrt{3}\cos x,$$ $$\sin x-2{\sin }^{2}x-2{\cos }^{2}x=-\sqrt{3}\cos x,$$ $$\sin x-2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-\sqrt{3}\cos x,$$ $$\sin x-2=-\sqrt{3}\cos x,$$ $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2.$$

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла:

$$2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2,$$ $$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1,$$ $$x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z},$$ $$x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Проверка ОДЗ: $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0\text{.}$

Б) Найдём корни на отрезке $\left[-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

Решим неравенство $-\pi ⩽\frac{\pi }{6}+2\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\text{:}$

$$-\frac{7\pi }{6}⩽2\pi k⩽\frac{4\pi }{3}\Rightarrow -\frac{7}{12}⩽k⩽\frac{2}{3}.$$

Целое $k=0\text{,}$ что даёт $x=\frac{\pi }{6}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $x=\frac{\pi }{6}$