В треугольнике ABC стороны AB и BC соответственно равны 3 и 5 , а угол между ними 120^ . Серединные перпендикуляры к AB и BC пересекают AC соответственно в точках L и N . а) Докажите, что BN : (BL + LN) = 5 : 8 . б) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных соответственно в треугольники BCN и ABL .

а) По свойству серединного перпендикуляра CN = BN и AL = BL . Точки L и N лежат на стороне AC , причём A , L , N , C упорядочены, поэтому BL + LN = AL + LN = AN . Значит, доказываемое соотношение эквивалентно CN : AN = 5 : 8 . По теореме косинусов в ABC : AC^(2) = AB^(2) + BC^(2) - 2* AB* BC* cos 120^ = 9 + 25 + 15 = 49, AC = 7. Используя теорему косинусов снова, найдём cos C : cos C = (AC^(2) + BC^(2) - AB^(2))/(2* AC* BC) = (49 + 25 - 9)/(2* 7* 5) = (13)/(14). Пусть P — середина BC (основание серединного перпендикуляра). В прямоугольном CPN ( CPN = 90^ ): CN = (CP)/(cos C) = (2,5)/(13/14) = (35)/(13). Тогда AN = AC - CN = 7 - (35)/(13) = (56)/(13), CN : AN = (35)/(13) : (56)/(13) = 35 : 56 = 5 : 8. б) Пусть r_(1) , r_(2) — радиусы окружностей, вписанных в BCN и ABL , p_(1) , p_(2) — их полупериметры. Поскольку S_() = pr , имеем (r_(1))/(r_(2)) = (S_(BCN)* p_(2))/(S_(ABL)* p_(1)). Площадь и полупериметр BCN . sin C = sqrt(1 - (13/14)^(2)) = (3sqrt(3))/(14). Высота из N на BC : NP = CN* sin C = (35)/(13)* (3sqrt(3))/(14) = (15sqrt(3))/(26). Тогда S_(BCN) = (1)/(2)* BC* NP = (1)/(2)* 5* (15sqrt(3))/(26) = (75sqrt(3))/(52). Стороны BCN : BC = 5 , CN = BN = (35)/(13) . Периметр 5 + (70)/(13) = (135)/(13) , полупериметр p_(1) = (135)/(26) . Площадь и полупериметр ABL . Найдём cos A : cos A = (AC^(2) + AB^(2) - BC^(2))/(2* AC* AB) = (49 + 9 - 25)/(2* 7* 3) = (11)/(14). Пусть T — середина AB . В прямоугольном ATL : AL = (AT)/(cos A) = (3/2)/(11/14) = (21)/(11). Далее sin A = sqrt(1 - (11/14)^(2)) = (5sqrt(3))/(14). Высота из L на AB : TL = AL* sin A = (21)/(11)* (5sqrt(3))/(14) = (15sqrt(3))/(22). Тогда S_(ABL) = (1)/(2)* AB* TL = (1)/(2)* 3* (15sqrt(3))/(22) = (45sqrt(3))/(44). Стороны ABL : AB = 3 , AL = BL = (21)/(11) . Периметр 3 + (42)/(11) = (75)/(11) , полупериметр p_(2) = (75)/(22) . Отношение радиусов: (r_(1))/(r_(2)) = ((75sqrt(3))/(52)* (75)/(22))/((45sqrt(3))/(44)* (135)/(26)) = (75sqrt(3)* 75* 44* 26)/(52* 22* 45sqrt(3)* 135) = (75* 75* 44* 26)/(52* 22* 45* 135) = (25)/(27). Ответ: б) (25)/(27) .

(б) $\dfrac{25}{27}$