Задача №16586

Объём куба равен 160. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Пусть ребро куба равно $a\text{,}$ тогда $a^3=160\text{.}$

Выберем вершину $A$ куба и обозначим середины двух рёбер, выходящих из $A$ (например, $AB$ и $AD$), через $M$ и $N\text{.}$ Плоскость проходит через $M\text{,}$ $N$ и параллельна третьему ребру $A{A}^{\prime }\text{.}$

Эта плоскость отсекает от куба треугольную призму с основанием — прямоугольным треугольником $AMN$ (катеты $\frac{a}{2}$ и $\frac{a}{2}$) — и боковым ребром, параллельным $A{A}^{\prime }\text{,}$ длиной $a\text{.}$

Объём призмы:

Ответ: 20.