Найдите все значения параметра a, при которых решения уравнения
x+3−4x−1+x+8−6x−1=aсуществуют и принадлежат отрезку [2;17].
Введём замену t=x−1, t⩾0. Тогда x=t2+1, и подкоренные выражения сворачиваются в полные квадраты:
x+3−4x−1=t2−4t+4=(t−2)2, x+8−6x−1=t2−6t+9=(t−3)2.Функция t=x−1 строго возрастает на [1;+∞), поэтому замена биективна. Условие x∈[2;17] равносильно t∈[1;4].
Уравнение принимает вид
∣t−2∣+∣t−3∣=a,t∈[1;4].(\ast)Исследуем функцию φ(t)=∣t−2∣+∣t−3∣ на отрезке [1;4]:
При t∈[1;2]: φ(t)=(2−t)+(3−t)=5−2t — линейно убывает от φ(1)=3 до φ(2)=1.
При t∈[2;3]: φ(t)=(t−2)+(3−t)=1 (константа).
При t∈[3;4]: φ(t)=(t−2)+(t−3)=2t−5 — линейно возрастает от φ(3)=1 до φ(4)=3.
Тем самым φ(t) принимает на [1;4] все значения отрезка [1;3] и только их.
Если a<1 или a>3 — уравнение (∗) решений на [1;4] не имеет, значит, и в исходном уравнении нет решений из [2;17].
Если a=1 — множество решений уравнения (∗) есть весь отрезок [2;3] (соответственно x∈[5;10]⊂[2;17]). Условие задачи выполнено.
Если a∈(1;3] — уравнение (∗) имеет ровно два корня t1=25−a∈[1;2) и t2=25+a∈(3;4], оба принадлежат [1;4], что соответствует x1,x2∈[2;17]. Условие выполнено.
Итак, искомое множество значений параметра — отрезок [1;3].
Ответ: [1;3].
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин