Найдите все значения параметра a, при которых решения уравнения sqrt(x + 3 - 4x - 1) + sqrt(x + 8 - 6x - 1) = a существуют и принадлежат отрезку [2;17].

Введём замену t = sqrt(x - 1), t 0. Тогда x = t^(2) + 1, и подкоренные выражения сворачиваются в полные квадраты: x + 3 - 4sqrt(x - 1) = t^(2) - 4t + 4 = (t - 2)^(2), x + 8 - 6sqrt(x - 1) = t^(2) - 6t + 9 = (t - 3)^(2). Функция t = sqrt(x - 1) строго возрастает на [1; +inf), поэтому замена биективна. Условие x in [2;17] равносильно t in [1;4]. Уравнение принимает вид |t - 2| + |t - 3| = a, t in [1;4]. Исследуем функцию (t) = |t - 2| + |t - 3| на отрезке [1;4]: - При t in [1;2]: (t) = (2 - t) + (3 - t) = 5 - 2t — линейно убывает от (1) = 3 до (2) = 1. - При t in [2;3]: (t) = (t - 2) + (3 - t) = 1 (константа). - При t in [3;4]: (t) = (t - 2) + (t - 3) = 2t - 5 — линейно возрастает от (3) = 1 до (4) = 3. Тем самым (t) принимает на [1;4] все значения отрезка [1;3] и только их. - Если a < 1 или a > 3 — уравнение () решений на [1;4] не имеет, значит, и в исходном уравнении нет решений из [2;17]. - Если a = 1 — множество решений уравнения () есть весь отрезок [2;3] (соответственно x in [5;10] c [2;17]). Условие задачи выполнено. - Если a in (1;3] — уравнение () имеет ровно два корня t_(1) = (5 - a)/(2) in [1;2) и t_(2) = (5 + a)/(2) in (3;4], оба принадлежат [1;4], что соответствует x_(1), x_(2) in [2;17]. Условие выполнено. Итак, искомое множество значений параметра — отрезок [1;3]. Ответ: [1;3].

$[1;\,3]$