а) Решите уравнение 2(sqrt(2)sin x - sin(x - (pi)/(4)))^(2) - 3cos(x - (pi)/(4)) + 1 = 0. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [(5pi)/(2);4pi].

а) Раскроем синус разности: sqrt(2)sin x - sin(x - (pi)/(4)) = sqrt(2)sin x - (sin x cos(pi)/(4) - cos x sin(pi)/(4)) = sqrt(2)sin x - (sqrt(2))/(2)sin x + (sqrt(2))/(2)cos x = (sqrt(2))/(2)(sin x + cos x). Используя тождество sin x + cos x = sqrt(2)cos(x - (pi)/(4)), получаем sqrt(2)sin x - sin(x - (pi)/(4)) = cos(x - (pi)/(4)). Пусть t = cos(x - (pi)/(4)), |t| 1. Уравнение принимает вид 2t^(2) - 3t + 1 = 0 <=> t = (1)/(2) или t = 1. Возвращаемся к переменной x. 1) cos(x - (pi)/(4)) = (1)/(2) => x - (pi)/(4) = +-(pi)/(3) + 2pi k, k in Z, то есть x = -(pi)/(12) + 2pi k или x = (7pi)/(12) + 2pi m, k, m in Z. 2) cos(x - (pi)/(4)) = 1 => x - (pi)/(4) = 2pi n, n in Z, то есть x = (pi)/(4) + 2pi n, n in Z. б) Отбираем корни на отрезке [(5pi)/(2);4pi]. Для серии x = -(pi)/(12) + 2pi k из условия (5pi)/(2) -(pi)/(12) + 2pi k 4pi получаем (31)/(24) k (49)/(24), единственное целое k = 2, тогда x = -(pi)/(12) + 4pi = (47pi)/(12). Для серии x = (7pi)/(12) + 2pi m: (5pi)/(2) (7pi)/(12) + 2pi m 4pi даёт (23)/(24) m (41)/(24), m = 1, x = (7pi)/(12) + 2pi = (31pi)/(12). Для серии x = (pi)/(4) + 2pi n: (5pi)/(2) (pi)/(4) + 2pi n 4pi даёт (9)/(8) n (15)/(8), целых n нет. Ответ: а) -(pi)/(12) + 2pi k , (7pi)/(12) + 2pi m , (pi)/(4) + 2pi n , k, m, n in Z б) (31pi)/(12) , (47pi)/(12)

(а) $-\dfrac{\pi}{12} + 2\pi k,\ \dfrac{7\pi}{12} + 2\pi m,\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\ k,m,n \in \mathbb{Z}$; (б) $\dfrac{31\pi}{12};\ \dfrac{47\pi}{12}$.