а) Решите уравнение 2(sqrt(2)sin x - sin(x - (pi)/(4)))^(2) - 3cos(x - (pi)/(4)) + 1 = 0. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [(5pi)/(2);4pi].

Задача №16584: Уравнения

а) Раскроем синус разности:

2 sin x - sin (x - \frac{π}{4}) = 2 sin x - (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin x - \frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x = \frac{2}{2} (sin x + cos x) .

Используя тождество $sin x + cos x = 2 cos (x - \frac{π}{4}),$ получаем

2 sin x - sin (x - \frac{π}{4}) = cos (x - \frac{π}{4}) .

Пусть $t = cos (x - \frac{π}{4}),$ $∣ t ∣ ⩽ 1 .$ Уравнение принимает вид

2 t^{2} - 3 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} или t = 1.

Возвращаемся к переменной $x .$

1) $cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \Rightarrow x - \frac{π}{4} = \pm \frac{π}{3} + 2 π k, k \in Z,$ то есть

x = - \frac{π}{12} + 2 π k или x = \frac{7 π}{12} + 2 π m, k, m \in Z .

2) $cos (x - \frac{π}{4}) = 1 \Rightarrow x - \frac{π}{4} = 2 π n, n \in Z,$ то есть

x = \frac{π}{4} + 2 π n, n \in Z .

б) Отбираем корни на отрезке $[\frac{5 π}{2}; 4 π] .$

Для серии $x = - \frac{π}{12} + 2 π k$ из условия $\frac{5 π}{2} ⩽ - \frac{π}{12} + 2 π k ⩽ 4 π$ получаем $\frac{31}{24} ⩽ k ⩽ \frac{49}{24},$ единственное целое $k = 2,$ тогда $x = - \frac{π}{12} + 4 π = \frac{47 π}{12} .$

Для серии $x = \frac{7 π}{12} + 2 π m :$ $\frac{5 π}{2} ⩽ \frac{7 π}{12} + 2 π m ⩽ 4 π$ даёт $\frac{23}{24} ⩽ m ⩽ \frac{41}{24},$ $m = 1,$ $x = \frac{7 π}{12} + 2 π = \frac{31 π}{12} .$

Для серии $x = \frac{π}{4} + 2 π n :$ $\frac{5 π}{2} ⩽ \frac{π}{4} + 2 π n ⩽ 4 π$ даёт $\frac{9}{8} ⩽ n ⩽ \frac{15}{8},$ целых $n$ нет.

Ответ:

а) $- \frac{π}{12} + 2 π k,$ $\frac{7 π}{12} + 2 π m,$ $\frac{π}{4} + 2 π n,$ $k, m, n \in Z$

б) $\frac{31 π}{12},$ $\frac{47 π}{12}$

Задача №16584

Задача #16584

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16584

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация