Задача №16580

Прямая $y=kx+b$ является касательной к графику функции $y=x^2+ax+c$ в точке $x_1=1\text{,}$ а к графику функции $y=-x^2+ax+1$ — в точке $x_2=-1\text{.}$ Найдите $c\text{.}$

Прямая $y=kx+b$ — касательная.

Для функции $y=x^2+ax+c$ в точке $x_1=1\text{:}$

$y(1)=1+a+c\text{,}$ $y^{\prime }(1)=2+a\text{.}$

Уравнение касательной:

Значит $k=2+a\text{,}$ $b=c-1\text{.}$

Для функции $y=-x^2+ax+1$ в точке $x_2=-1\text{:}$

$y(-1)=-1-a+1=-a\text{,}$ $y^{\prime }(-1)=2+a\text{.}$

Уравнение касательной:

Значит $k=2+a\text{,}$ $b=2\text{.}$

Угловые коэффициенты совпадают автоматически. Из равенства свободных членов:

Ответ: 3.