Задача №16576

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD\text{,}$ $F$ — середина $BE\text{,}$ $K$ — середина $FD\text{,}$ $M$ — середина $CK\text{.}$

А) Докажите, что точки $E\text{,}$ $K$ и $C$ лежат на одной прямой.
Б) Найдите площадь четырёхугольника $BFKM\text{,}$ если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $50\text{.}$

Введём координаты: $A=(0,0)\text{,}$ $B=(0,1)\text{,}$ $C=(2,1)\text{,}$ $D=(2,0)\text{.}$

• $E=\frac{A+D}{2}=(1,0)\text{;}$
• $F=\frac{B+E}{2}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\text{;}$
• $K=\frac{F+D}{2}=\left(\frac{5}{4},\frac{1}{4}\right)\text{;}$
• $M=\frac{C+K}{2}=\left(\frac{13}{8},\frac{5}{8}\right)\text{.}$

А) Доказательство, что $E\text{,}$ $K\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой.

$\overrightarrow{EK}=K-E=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\text{,}$ $\overrightarrow{EC}=C-E=(1,1)\text{.}$

$\overrightarrow{EC}=4\overrightarrow{EK}\text{.}$ Векторы коллинеарны, следовательно $E\text{,}$ $K\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Замечание: соотношение площадей сохраняется при аффинных преобразованиях, поэтому результат не зависит от выбора конкретного параллелограмма.

Б) Площадь четырёхугольника $BFKM\text{.}$

Порядок вершин $B\to F\to K\to M$ — обход против часовой стрелки. Используем формулу шнурования:

$$S=\frac{1}{2}\left|x_B(y_F-y_M)+x_F(y_K-y_B)+x_K(y_M-y_F)+x_M(y_B-y_K)\right|.$$

Подстановка:

• $x_B(y_F-y_M)=0\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{5}{8}\right)=0\text{;}$
• $x_F(y_K-y_B)=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{4}-1\right)=-\frac{3}{8}\text{;}$
• $x_K(y_M-y_F)=\frac{5}{4}\cdot \left(\frac{5}{8}-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{8}=\frac{5}{32}\text{;}$
• $x_M(y_B-y_K)=\frac{13}{8}\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{13}{8}\cdot \frac{3}{4}=\frac{39}{32}\text{.}$

Сумма:

$$0-\frac{3}{8}+\frac{5}{32}+\frac{39}{32}=-\frac{12}{32}+\frac{44}{32}=\frac{32}{32}=1.$$ $$S_{BFKM}=\frac{1}{2}\cdot |1|=\frac{1}{2}.$$

Площадь параллелограмма $ABCD$ при выбранных координатах: $2\cdot 1=2\text{.}$

Отношение:

$$\frac{S_{BFKM}}{S_{ABCD}}=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}.$$

При $S_{ABCD}=50\text{:}$

$$S_{BFKM}=50\cdot \frac{1}{4}=12,5.$$

Ответ: $12,5\text{.}$