В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD , F — середина BE , K — середина FD , M — середина CK . А) Докажите, что точки E , K и C лежат на одной прямой. Б) Найдите площадь четырёхугольника BFKM , если площадь параллелограмма ABCD равна 50 .

Введём координаты: A = (0,0) , B = (0,1) , C = (2,1) , D = (2,0) . - E = (A + D)/(2) = (1,0) ; - F = (B + E)/(2) = ((1)/(2),(1)/(2)) ; - K = (F + D)/(2) = ((5)/(4),(1)/(4)) ; - M = (C + K)/(2) = ((13)/(8),(5)/(8)) . А) Доказательство, что E , K , C лежат на одной прямой. EK = K - E = ((1)/(4),(1)/(4)) , EC = C - E = (1,1) . EC = 4EK . Векторы коллинеарны, следовательно E , K , C лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать. Замечание: соотношение площадей сохраняется при аффинных преобразованиях, поэтому результат не зависит от выбора конкретного параллелограмма. Б) Площадь четырёхугольника BFKM . Порядок вершин B F K M — обход против часовой стрелки. Используем формулу шнурования: S = (1)/(2)|x_B(y_F - y_M) + x_F(y_K - y_B) + x_K(y_M - y_F) + x_M(y_B - y_K)|. Подстановка: - x_B(y_F - y_M) = 0 * ((1)/(2) - (5)/(8)) = 0 ; - x_F(y_K - y_B) = (1)/(2) * ((1)/(4) - 1) = -(3)/(8) ; - x_K(y_M - y_F) = (5)/(4) * ((5)/(8) - (1)/(2)) = (5)/(4) * (1)/(8) = (5)/(32) ; - x_M(y_B - y_K) = (13)/(8) * (1 - (1)/(4)) = (13)/(8) * (3)/(4) = (39)/(32) . Сумма: 0 - (3)/(8) + (5)/(32) + (39)/(32) = -(12)/(32) + (44)/(32) = (32)/(32) = 1. S_(BFKM) = (1)/(2) * |1| = (1)/(2). Площадь параллелограмма ABCD при выбранных координатах: 2 * 1 = 2 . Отношение: (S_(BFKM))/(S_(ABCD)) = (1/2)/(2) = (1)/(4). При S_(ABCD) = 50 : S_(BFKM) = 50 * (1)/(4) = 12,5. Ответ: 12,5 .

А) доказательство; Б) 12,5