Натуральное число будем называть симметричным, если оно совпадает с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке. а) Сколько существует четырёхзначных симметричных чисел? б) Четырёхзначные симметричные числа разделили на 11. Сколько при этом получилось трёхзначных симметричных чисел? в) Из каких трёхзначных симметричных чисел при умножении на 11 получаются симметричные четырёхзначные числа?

а) Количество четырёхзначных симметричных (палиндромов). Число имеет вид abba , где a in 1;2;;9 (первая цифра ненулевая), b in 0;1;;9 . Всего 9 * 10 = 90 . Ответ а): 90. б) Сколько трёхзначных симметричных получится при делении abba на 11. abba = 1001a + 110b = 11(91a + 10b). Значит частное равно N = 91a + 10b . Требование 1: N — трёхзначное, т.е. 100 N 999 . Требование 2: N симметричное вида cdc , т.е. цифра сотен совпадает с цифрой единиц. Единица числа 91a + 10b равна a (поскольку 91a оканчивается на a , а 10b единиц не меняет). Десятки 91a : при a = 1,2,,9 значение 91a равно 91,182,273,,819 ; десятки соответственно 9,8,7,,1 , т.е. цифра десятков 91a равна 10 - a . Для a 2 цифра сотен 91a равна a - 1 (для a = 1 число 91 двузначное, сотен нет). При добавлении 10b десятки 91a + 10b равны (10 - a + b) 10 . Перенос в сотни происходит, если 10 - a + b 10 , т.е. при b a . Тогда цифра сотен N : 1. при b < a : a - 1 ; 2. при b a : a . Цифра единиц N всегда a . Равенство сотен и единиц <=> b a . Подсчёт пар (a,b) : - a = 1 : b in 1;;9 — 9 пар (заметим, что при b = 0 число 91 двузначное, отбрасываем); - a = 2 : b in 2;;9 — 8 пар; - - a = 9 : b = 9 — 1 пара. Итого: 9 + 8 + 7 + + 1 = (9 * 10)/(2) = 45 чисел. Ответ б): 45. в) Из каких трёхзначных симметричных при умножении на 11 получаются симметричные четырёхзначные. Трёхзначное симметричное cdc = 101c + 10d , где c in 1;;9 , d in 0;;9 . Тогда 11 * (101c + 10d) = 1111c + 110d. Это должно быть четырёхзначным симметричным abba = 1001a + 110b . Получаем уравнение 1111c + 110d = 1001a + 110b, т.е. 1001(c - a) + 110(c + d - b) = 0 , или 91(c - a) = 10(b - c - d) . Поскольку (91,10) = 1 , левая часть кратна 10 , правая — 91 . С учётом ограничений на цифры ( |c - a| 9 , |b - c - d| 18 ) это возможно только при c - a = 0 и c + d - b = 0 . Значит a = c и b = c + d . Условие, что b — цифра: c + d 9 . Для каждого c in 1;;9 значение d пробегает 0;1;;9 - c , что даёт 10 - c чисел: - c = 1 : 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181 (9 чисел); - c = 2 : 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272 (8); - c = 3 : 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363 (7); - c = 4 : 404, 414, 424, 434, 444, 454 (6); - c = 5 : 505, 515, 525, 535, 545 (5); - c = 6 : 606, 616, 626, 636 (4); - c = 7 : 707, 717, 727 (3); - c = 8 : 808, 818 (2); - c = 9 : 909 (1). Всего 9 + 8 + + 1 = 45 чисел. Ответ в): трёхзначные симметричные числа вида cdc , у которых сумма крайней и средней цифры не превосходит 9 (т.е. c + d 9 ); всего таких чисел 45. Ответ: а) 90 б) 45 в) числа cdc , c + d 9 (всего 45 штук)

А) 90; Б) 45; В) симметричные cdc с c+d ≤ 9 (всего 45 чисел)