Задача №16572: Текстовые задачи

Два автомобиля выехали одновременно и в одном направлении из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 60 км, и одновременно прибыли в пункт C. Если бы один из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а второй — на 20 км/ч, то они также прибыли бы в пункт C одновременно, но на 2 часа раньше. Найдите скорость более быстрого автомобиля в км/ч.

Пусть $v_{1}$ — скорость автомобиля из $A,$ $v_{2}$ — из $B .$ Расстояния до $C :$ $d_{1}$ (из $A$ ) и $d_{2}$ (из $B$ ), причём $d_{1} = d_{2} + 60$ (автомобиль из $A$ должен пройти на 60 км больше).

Одновременное прибытие:

\frac{d _{1}}{v _{1}} = \frac{d _{2}}{v _{2}},

или $d_{1} v_{2} = d_{2} v_{1} .$ Значит

\frac{v _{1} - v _{2}}{v _{2}} = \frac{d _{1} - d _{2}}{d _{2}} = \frac{60}{d _{2}} .

При увеличенных скоростях время на 2 ч меньше:

\frac{d _{1}}{v _{1} + 25} = \frac{d _{2}}{v _{2} + 20} .

Преобразуем: $d_{1} (v_{2} + 20) = d_{2} (v_{1} + 25),$ т. е. $(d_{2} + 60) (v_{2} + 20) = d_{2} (v_{1} + 25) .$

Используя $d_{2} (v_{1} - v_{2}) = 60 v_{2},$ получаем $- 5 d_{2} + 60 v_{2} + 1200 = 60 v_{2},$ откуда $d_{2} = 240$ и $d_{1} = 300 .$

Из условий:

\frac{240}{v _{2} + 20} = \frac{240}{v _{2}} - 2 \Rightarrow \frac{240 \cdot 20}{v _{2} ( v _{2} + 20 )} = 2 \Rightarrow v_{2} (v_{2} + 20) = 2400.

Квадратное уравнение $v_{2}^{2} + 20 v_{2} - 2400 = 0,$ корни $v_{2} = 40$ или $v_{2} = - 60$ (отбрасываем).

Тогда

v_{1} = v_{2} + \frac{60 v _{2}}{d _{2}} = 40 + \frac{60 \cdot 40}{240} = 40 + 10 = 50.

Более быстрый автомобиль — из $A,$ его скорость $50$ км/ч.

Ответ: 50.

Одновременное прибытие:

\frac{d _{1}}{v _{1}} = \frac{d _{2}}{v _{2}},

или $d_{1} v_{2} = d_{2} v_{1} .$ Значит

\frac{v _{1} - v _{2}}{v _{2}} = \frac{d _{1} - d _{2}}{d _{2}} = \frac{60}{d _{2}} .

При увеличенных скоростях время на 2 ч меньше:

\frac{d _{1}}{v _{1} + 25} = \frac{d _{2}}{v _{2} + 20} .

Преобразуем: $d_{1} (v_{2} + 20) = d_{2} (v_{1} + 25),$ т. е. $(d_{2} + 60) (v_{2} + 20) = d_{2} (v_{1} + 25) .$

Используя $d_{2} (v_{1} - v_{2}) = 60 v_{2},$ получаем $- 5 d_{2} + 60 v_{2} + 1200 = 60 v_{2},$ откуда $d_{2} = 240$ и $d_{1} = 300 .$

Из условий:

\frac{240}{v _{2} + 20} = \frac{240}{v _{2}} - 2 \Rightarrow \frac{240 \cdot 20}{v _{2} ( v _{2} + 20 )} = 2 \Rightarrow v_{2} (v_{2} + 20) = 2400.

Квадратное уравнение $v_{2}^{2} + 20 v_{2} - 2400 = 0,$ корни $v_{2} = 40$ или $v_{2} = - 60$ (отбрасываем).

Тогда

v_{1} = v_{2} + \frac{60 v _{2}}{d _{2}} = 40 + \frac{60 \cdot 40}{240} = 40 + 10 = 50.

Более быстрый автомобиль — из $A,$ его скорость $50$ км/ч.

Ответ: 50.

Задача №16572

Задача #16572

Решай похожие задачи

Информация

Задача №16572

Задача #16572

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16572

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16572

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация