На столе лежат 140 карточек – синие и белые, на каждой карточке записано ровно одно натуральное число. Все числа на белых карточках различны, и число на любой синей карточке не меньше числа на любой белой карточке. Среднее арифметическое всех записанных чисел равно 70. Если все числа на синих карточках уменьшить на 5, а все числа на белых карточках увеличить на 2, то среднее арифметическое всех чисел станет равным 67,5 (при уменьшении некоторые числа могут не быть натуральными). а) Могут ли все числа на белых карточках быть чётными? б) Может ли среднее арифметическое чисел на синих карточках равняться 70,5? в) Какое наименьшее среднее арифметическое может быть у чисел на синих карточках?

Пусть на столе n белых карточек и m = 140 - n синих. Обозначим S — сумму чисел на белых карточках, T — на синих. По условию S + T = 140 * 70 = 9800. После изменений (синие минус 5 , белые плюс 2 ) сумма станет (S + 2n) + (T - 5m) = S + T + 2n - 5(140 - n) = 9800 + 7n - 700 = 9100 + 7n. По условию это равно 140 * 67,5 = 9450 , откуда 7n = 350 , n = 50 , m = 90 . а) Предположим, что все 50 чисел на белых карточках чётные. Так как они различные натуральные, минимальная возможная сумма достигается при выборе чисел 2, 4, 6, , 100 : S 2 + 4 + + 100 = ((2 + 100) * 50)/(2) = 2550. При этом наибольшее число на белых b 100 . По условию каждое число на синих не меньше b , поэтому T 90 * 100 = 9000 . Тогда S + T 2550 + 9000 = 11550 > 9800, что противоречит условию S + T = 9800 . Ответ: нет. б) Предположим, среднее на синих равно 70,5 . Тогда T = 70,5 * 90 = 6345, S = 9800 - 6345 = 3455. Пусть b — наибольшее число на белых. Так как все 50 чисел на белых — различные натуральные, не превосходящие b , верхняя оценка их суммы S b + (b - 1) + + (b - 49) = 50b - 1225. Из 50b - 1225 3455 следует 50b 4680 , то есть b 93,6 , и поскольку b натурально, b 94 . Но тогда все 90 чисел на синих не меньше b 94 , и T 90 * 94 = 8460 , что противоречит T = 6345 . Ответ: нет. в) Среднее на синих T = T/90 минимально, когда T минимально. По условию все числа на синих не меньше b (наибольшее число на белых), поэтому T 90b . Кроме того (как в пункте б), S 50b - 1225 => T = 9800 - S 9800 - 50b + 1225 = 11025 - 50b. С учётом T 90b получаем 90b T и T 11025 - 50b. Если b задано, минимальное T есть (90b,11025 - 50b) . Заметим, что T = T/90 b (так как T 90b ), но также T (11025 - 50b)/90 . Чтобы получить минимальное T , возьмём T = 90b (все синие равны b ). Тогда S = 9800 - 90b , и условие S 50b - 1225 даёт 9800 - 90b 50b - 1225 <=> 140b 11025 <=> b 78,75. Поскольку b — натуральное, b 79 . Тогда T = b 79 . Достижимость T = 79 . Положим b = 79 , все синие равны 79 , тогда T = 90 * 79 = 7110 , S = 9800 - 7110 = 2690 . Нужно подобрать 50 различных натуральных чисел не больше 79 с суммой 2690 . Возьмём числа 32, 33, 34, , 79 — это 48 последовательных натуральных, их сумма равна ((32 + 79) * 48)/(2) = 2664. Добавим ещё два различных числа, не входящих в этот набор и не превосходящих 79 , с суммой 2690 - 2664 = 26 . Подходят, например, 10 и 16 . Итого набор белых: 10;16;32;33;;79 , сумма S = 26 + 2664 = 2690 — все условия выполнены. Ответ: а) нет б) нет в) 79

А) Нет; Б) Нет; В) $79$.