Задача №16570

Найдите точку максимума функции $y=x^2-33x+136\ln x+74\text{.}$

Найдём производную:

Область определения: $x>0\text{.}$ Приравняем $y^{\prime }=0$ и домножим на $x>0\text{:}$

Корни: $x=8$ и $x=8,5\text{.}$

Исследуем знаки $y^{\prime }=\frac{2x^2-33x+136}{x}$ при $x>0$ (квадратный трёхчлен $2x^2-33x+136$ имеет корни $8$ и $8,5\text{,}$ коэффициент при $x^2$ положителен):
1. При $0<x<8\text{:}$ $y^{\prime }>0\text{.}$
2. При $8<x<8,5\text{:}$ $y^{\prime }<0\text{.}$
3. При $x>8,5\text{:}$ $y^{\prime }>0\text{.}$

Следовательно, $x=8$ — точка максимума.

Ответ: 8