Задача №16565

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C=90^{\circ }\text{,}$ $\angle B=21^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\angle A=69^{\circ }\text{.}$

Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам:

$$\angle ACD=\angle BCD=45^{\circ }.$$

Медиана $CM$ проведена к гипотенузе $AB\text{.}$ Известно, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $CM=AM=MB\text{.}$ Поэтому треугольник $CMB$ равнобедренный с $CM=MB\text{,}$ откуда

$$\angle MCB=\angle MBC=21^{\circ }.$$

Тогда

$$\angle ACM=\angle ACB-\angle MCB=90^{\circ }-21^{\circ }=69^{\circ }.$$

Искомый угол между $CD$ и $CM\text{:}$

$$\angle DCM=\angle ACM-\angle ACD=69^{\circ }-45^{\circ }=24^{\circ }.$$

Ответ: 24.