Задача №16560

Значение производной $f^{\prime }(x)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в данной точке. Производная положительна там, где функция возрастает, и отрицательна там, где она убывает. Наименьшее значение производной достигается в точке, где функция убывает с наибольшей скоростью.

Рассмотрим поведение функции в отмеченных точках:

• В точке $x=1$ функция возрастает, поэтому $f^{\prime }(1)>0\text{.}$
• В точке $x=2$ функция убывает, поэтому $f^{\prime }(2)<0\text{.}$
• В точке $x=3$ функция возрастает, поэтому $f^{\prime }(3)>0\text{.}$
• В точке $x=4$ функция близка к максимуму и возрастает крайне медленно, поэтому $f^{\prime }(4)>0$ (близко к нулю).

Единственная точка, где производная отрицательна — это $x=2\text{.}$ Значит, именно в ней значение производной наименьшее.

Ответ: $2$