Решите неравенство (_(1/3)(1x^7) + 2)/(_9 x^6) (5)/(_x 3) + 2.

ОДЗ: x > 0 , x != 1 . Обозначим L = _3 x . Тогда: 1. _(1/3)(1/x^7) = -_(1/3)(x^7) = -7_(1/3) x = -7(-L) = 7L ; 2. _9 x^6 = 6_9 x = 6 * (L)/(2) = 3L ; 3. _x 3 = (1)/(L) , т.е. (5)/(_x 3) = 5L . Неравенство принимает вид: (7L + 2)/(3L) 5L + 2. Переносим всё в левую часть: (7L + 2 - 3L(5L + 2))/(3L) 0 =>(-15L^2 + L + 2)/(3L) 0 =>(15L^2 - L - 2)/(3L) 0. Корни числителя 15L^2 - L - 2 = 0 : L = (1 +- sqrt(1 + 120))/(30) = (1 +- 11)/(30), т.е. L = (2)/(5) или L = -(1)/(3) . Значит, 15L^2 - L - 2 = 15(L - (2)/(5))(L + (1)/(3)). Применим метод интервалов для выражения ((L - 2/5)(L + 1/3))/(L) . Нули и точки разрыва: L = -(1)/(3), 0, (2)/(5) . | L | < -1/3 | (-1/3; 0) | (0; 2/5) | > 2/5 | |---|:---:|:---:|:---:|:---:| | L - 2/5 | - | - | - | + | | L + 1/3 | - | + | + | + | | L | - | - | + | + | | произведение | - | + | - | + | Неравенство 0 выполняется при L -(1)/(3) или 0 < L (2)/(5) (точка L = 0 исключается, точки L = -1/3 и L = 2/5 включены). Вернёмся к переменной x (учтём, что L = _3 x и x > 0 ): 1. L -(1)/(3) : x 3^(-1/3) = (1)/([3]3) . С учётом x > 0 получаем x in (0; (1)/([3]3)] . 2. 0 < L (2)/(5) : 1 < x 3^(2/5) = [5]9 , т.е. x in (1; [5]9] . Ответ: x in (0; (1)/([3]3)] U (1; [5]9] .

x ∈ (0; 1/∛3] ∪ (1; ⁵√9]