Задача №16555

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_{1/3}\left(\frac{1}{x^7}\right)+2}{{\log }_9{x}^6}⩾\frac{5}{{\log }_{x}3}+2.$$

ОДЗ: $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{.}$

Обозначим $L={\log }_{3}x\text{.}$ Тогда:

1. ${\log }_{1/3}(1/x^7)=-{\log }_{1/3}(x^7)=-7{\log }_{1/3}x=-7(-L)=7L\text{;}$
2. ${\log }_9{x}^6=6{\log }_{9}x=6\cdot \frac{L}{2}=3L\text{;}$
3. ${\log }_{x}3=\frac{1}{L}\text{,}$ т.е. $\frac{5}{{\log }_{x}3}=5L\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{7L+2}{3L}⩾5L+2.$$

Переносим всё в левую часть:

$$\frac{7L+2-3L(5L+2)}{3L}⩾0\Rightarrow \frac{-15L^2+L+2}{3L}⩾0\Rightarrow \frac{15L^2-L-2}{3L}⩽0.$$

Корни числителя $15L^2-L-2=0\text{:}$

$$L=\frac{1\pm \sqrt{1+120}}{30}=\frac{1\pm 11}{30},$$

т.е. $L=\frac{2}{5}$ или $L=-\frac{1}{3}\text{.}$

Значит,

$$15L^2-L-2=15\left(L-\frac{2}{5}\right)\left(L+\frac{1}{3}\right).$$

Применим метод интервалов для выражения $\frac{(L-2/5)(L+1/3)}{L}\text{.}$ Нули и точки разрыва: $L=-\frac{1}{3},0,\frac{2}{5}\text{.}$

Неравенство $⩽0$ выполняется при $L⩽-\frac{1}{3}$ или $0<L⩽\frac{2}{5}$ (точка $L=0$ исключается, точки $L=-1/3$ и $L=2/5$ включены).

Вернёмся к переменной $x$ (учтём, что $L={\log }_{3}x$ и $x>0$):

1. $L⩽-\frac{1}{3}\text{:}$ $x⩽3^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\text{.}$ С учётом $x>0$ получаем $x\in \left(0;\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right]\text{.}$
2. $0<L⩽\frac{2}{5}\text{:}$ $1<x⩽3^{2/5}=\sqrt[5]{9}\text{,}$ т.е. $x\in \left(1;\sqrt[5]{9}\right]\text{.}$

Ответ:

$x\in \left(0;\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right]\cup \left(1;\sqrt[5]{9}\right]\text{.}$