Задача №16550

Найдите наименьший положительный корень уравнения. В ответе укажите квадрат полученного значения

$$\cos (\pi (x^2-x+1))=\cos (\pi (x-1)).$$

$$\cos \left(\pi (x^2-x+1)\right)=\cos \left(\pi (x-1)\right).$$

Используем равносильность $\cos A=\cos B\iff A=\pm B+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Случай 1: $\pi (x^2-x+1)=\pi (x-1)+2\pi k\text{.}$

$$x^2-2x+2=2k\Rightarrow x^2-2x+(2-2k)=0.$$

Дискриминант $D=4-4(2-2k)=8k-4⩾0\iff k⩾1\text{.}$

Корни: $x=1\pm \sqrt{2k-1}\text{.}$

При $k=1\text{:}$ $x=0$ или $x=2\text{.}$

При $k=2\text{:}$ $x=1\pm \sqrt{3}\text{.}$

Случай 2: $\pi (x^2-x+1)=-\pi (x-1)+2\pi k\text{.}$

$$x^2=2k.$$

При $k⩾0\text{:}$ $x=\pm \sqrt{2k}\text{.}$ Положительные: $\sqrt{2}$ при $k=1\text{,}$ $2$ при $k=2\text{,}$ и т.д.

Положительные корни (в порядке возрастания): $\sqrt{2}\approx 1,41\text{,}$ $2\text{,}$ $1+\sqrt{3}\approx 2,73\text{,}$ $\dots$

Наименьший положительный корень: $x=\sqrt{2}\text{.}$

Его квадрат: ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2\text{.}$

Ответ: 2.