Задача №16545: Стереометрия

В правильной четырёхугольной призме $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ точки $M,$ $N$ и $K$ делят рёбра $A A_{1},$ $B B_{1},$ $D D_{1}$ в отношении $1 : 5,$ $1 : 4$ и $1 : 2$ соответственно, считая от нижнего основания $A B C D .$
а) Докажите, что плоскость $M N K$ делит ребро $C C_{1}$ в отношении $11 : 19,$ считая от нижнего основания.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания призмы равна $13,$ а высота равна 30.

а) Линия пересечения секущей плоскости $(M N K)$ с гранью $A D D_{1} A_{1}$ — отрезок $M K,$ а с гранью $B C C_{1} B_{1}$ — отрезок $N P,$ где $P \in C C_{1} .$ Поскольку плоскости $A D D_{1} A_{1}$ и $B C C_{1} B_{1}$ параллельны, $N P ∥ M K .$

Проведём $M E ∥ A D$ ( $E \in D D_{1}$ ) и $N F ∥ B C$ ( $F \in C C_{1}$ ). Тогда прямоугольные треугольники $△ P F N$ и $△ K E M$ равны по катету ( $M K ∥ N P$ означает равенство соответствующих катетов, и $E M = F N$ как отрезки, равные стороне основания). Обозначим $h = A A_{1} .$ По условию

A M = \frac{h}{6}, B N = \frac{h}{5}, D K = \frac{h}{3},

откуда

K E = D K - D E = \frac{h}{3} - \frac{h}{6} = \frac{h}{6} (так как D E = A M = \frac{h}{6}) .

Из равенства треугольников $P F = K E = \frac{h}{6} .$ Значит,

P C = F C + F P = B N + K E = \frac{h}{5} + \frac{h}{6} = \frac{11 h}{30}, P C_{1} = h - P C = \frac{19 h}{30},

и $P C : P C_{1} = 11 : 19 .$

б) Пусть $φ$ — угол между плоскостью сечения $M K P N$ и плоскостью основания. Поскольку $A B C D$ — ортогональная проекция параллелограмма $M K P N$ на плоскость основания, имеем

cos φ = \frac{S _{A B C D}}{S _{M K P N}} .

Из условия $h = 30 :$ $A M = 5,$ $B N = 6,$ $D K = 10,$ $K E = 5 .$ Сторона основания $a = 13,$ $S_{A B C D} = 13 .$

Вычислим стороны параллелограмма $M K P N .$

В прямоугольном $△ M E K$ с катетами $M E = A D = 13$ и $K E = 5 :$

M K = M E^{2} + K E^{2} = 13 + 25 = 38 .

Проведём $M Q ∥ A B,$ $Q \in B B_{1} .$ Тогда $B Q = A M = 5,$ $N Q = B N - B Q = 6 - 5 = 1,$ и в прямоугольном $△ M QN$ с катетами $M Q = A B = 13,$ $N Q = 1 :$

M N = M Q^{2} + N Q^{2} = 13 + 1 = 14 .

Диагональ $K N .$ Проведём $N L ∥ B D,$ $L \in D D_{1} .$ Тогда $N L = B D = a 2 = 26,$ $D L = B N = 6,$ $K L = D K - D L = 10 - 6 = 4 .$ В прямоугольном $△ K L N :$

K N = K L^{2} + N L^{2} = 16 + 26 = 42 .

По теореме косинусов в $△ K M N :$

cos ∠ K M N = \frac{M K ^{2} + M N ^{2} - K N ^{2}}{2 \cdot M K \cdot M N} = \frac{38 + 14 - 42}{2 38 \cdot 14} = \frac{5}{38 \cdot 14} .

Тогда

sin ∠ K M N = 1 - \frac{25}{38 \cdot 14} = \frac{507}{532} = \frac{13 3}{38 \cdot 14} .

Площадь параллелограмма:

S_{M K P N} = M N \cdot M K \cdot sin ∠ K M N = 14 \cdot 38 \cdot \frac{13 3}{38 \cdot 14} = 133 .

Отсюда

cos φ = \frac{13}{13 3} = \frac{3}{3}, φ = arccos \frac{3}{3} .

Ответ:

б) $arccos \frac{3}{3}$

Задача №16545

Задача #16545

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16545

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация