В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 точки M , N и K делят рёбра AA_1 , BB_1 , DD_1 в отношении 1:5 , 1:4 и 1:2 соответственно, считая от нижнего основания ABCD . а) Докажите, что плоскость MNK делит ребро CC_1 в отношении 11:19 , считая от нижнего основания. б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания призмы равна sqrt(13) , а высота равна 30.

а) Линия пересечения секущей плоскости (MNK) с гранью ADD_1A_1 — отрезок MK , а с гранью BCC_1B_1 — отрезок NP , где P in CC_1 . Поскольку плоскости ADD_1A_1 и BCC_1B_1 параллельны, NP MK . Проведём ME AD ( E in DD_1 ) и NF BC ( F in CC_1 ). Тогда прямоугольные треугольники PFN и KEM равны по катету ( MK NP означает равенство соответствующих катетов, и EM = FN как отрезки, равные стороне основания). Обозначим h = AA_1 . По условию AM = (h)/(6), BN = (h)/(5), DK = (h)/(3), откуда KE = DK - DE = (h)/(3) - (h)/(6) = (h)/(6) (так как DE = AM = (h)/(6)). Из равенства треугольников PF = KE = (h)/(6) . Значит, PC = FC + FP = BN + KE = (h)/(5) + (h)/(6) = (11h)/(30), PC_1 = h - PC = (19h)/(30), и PC : PC_1 = 11 : 19 . б) Пусть — угол между плоскостью сечения MKPN и плоскостью основания. Поскольку ABCD — ортогональная проекция параллелограмма MKPN на плоскость основания, имеем cos = (S_(ABCD))/(S_(MKPN)). Из условия h = 30 : AM = 5 , BN = 6 , DK = 10 , KE = 5 . Сторона основания a = sqrt(13) , S_(ABCD) = 13 . Вычислим стороны параллелограмма MKPN . В прямоугольном MEK с катетами ME = AD = sqrt(13) и KE = 5 : MK = sqrt(ME^2 + KE^2) = sqrt(13 + 25) = sqrt(38). Проведём MQ AB , Q in BB_1 . Тогда BQ = AM = 5 , NQ = BN - BQ = 6 - 5 = 1 , и в прямоугольном MQN с катетами MQ = AB = sqrt(13) , NQ = 1 : MN = sqrt(MQ^2 + NQ^2) = sqrt(13 + 1) = sqrt(14). Диагональ KN . Проведём NL BD , L in DD_1 . Тогда NL = BD = asqrt(2) = sqrt(26) , DL = BN = 6 , KL = DK - DL = 10 - 6 = 4 . В прямоугольном KLN : KN = sqrt(KL^2 + NL^2) = sqrt(16 + 26) = sqrt(42). По теореме косинусов в KMN : cos KMN = (MK^2 + MN^2 - KN^2)/(2 * MK * MN) = (38 + 14 - 42)/(2sqrt(38 * 14)) = (5)/(sqrt(38 * 14)). Тогда sin KMN = sqrt(1 - (25)/(38 * 14)) = sqrt((507)/(532)) = (13sqrt(3))/(sqrt(38 * 14)). Площадь параллелограмма: S_(MKPN) = MN * MK * sin KMN = sqrt(14) * sqrt(38) * (13sqrt(3))/(sqrt(38 * 14)) = 13sqrt(3). Отсюда cos = (13)/(13sqrt(3)) = (sqrt(3))/(3), = arccos(sqrt(3))/(3). Ответ: б) arccos(sqrt(3))/(3)

$\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{3}$