Пусть n > 1 — натуральное число, p — его наибольший простой делитель, q — его наименьший простой делитель, p != q , a = (n)/(q) , b = (n)/(p) и m = a - b . а) Может ли быть m = 3 ? б) Может ли быть m = 91 ? в) Найдите все числа n , которые делятся на m .

Запишем каноническое разложение n = p_1^(_1) * p_2^(_2) * * p_k^(_k) с простыми p_1 < p_2 < < p_k (все _i 1 , k 2 , поскольку p != q ). Тогда q = p_1 , p = p_k , и a = (n)/(q) = p_1^(_1 - 1) * p_2^(_2) * * p_k^(_k), b = (n)/(p) = p_1^(_1) * p_2^(_2) * * p_k^(_k - 1), m = a - b = p_1^(_1 - 1) * p_2^(_2) * * p_k^(_k - 1) * (p_k - p_1). а) Да. Возьмём n = 10 = 2 * 5 . Тогда a = 5 , b = 2 , m = 3 . б) Нет. Так как 91 = 7 * 13 , то для множителя (p_k - p_1) в разложении m возможны лишь значения 7 , 13 или 91 (других делителей 91 среди значений вида p_k - p_1 нет с учётом простоты p_k ). Все эти значения нечётные, значит, разность простых p_k - p_1 нечётна, а это возможно только при p_1 = 2 (иначе оба простых нечётны, разность чётна). Тогда p_k - 2 in 7; 13; 91 , то есть p_k in 9; 15; 93 . Но 9 = 3^2 , 15 = 3 * 5 , 93 = 3 * 31 — все составные. Противоречие, значит, m = 91 невозможно. в) Пусть n m . Тогда (n)/(m) = (p_1^(_1) * p_2^(_2) * * p_k^(_k))/(p_1^(_1 - 1) * p_2^(_2) * * p_k^(_k - 1) * (p_k - p_1)) = (p_1 * p_k)/(p_k - p_1). Если p_1 > 2 (т. е. p_1 нечётно), то и p_k нечётно, поэтому числитель p_1 * p_k — нечётный, а знаменатель p_k - p_1 — чётный. Целочисленного деления нет. Если p_1 = 2 , то (n)/(m) = (2 p_k)/(p_k - 2) . Поскольку (p_k - 2; p_k) = (p_k - 2; 2) = 1 (при p_k > 2 нечётном) и p_k — простое, дробь несократима за исключением случая p_k - 2 = 1 , то есть p_k = 3 . При p_k = 3 : (n)/(m) = (2 * 3)/(3 - 2) = 6 in Z. Значит, единственный вариант канонического разложения: n имеет ровно два простых делителя 2 и 3 , то есть n = 2^(alpha) * 3^(beta), где alpha, beta 1. Для любых таких n имеем a = 2^(alpha - 1) * 3^(beta) , b = 2^(alpha) * 3^(beta - 1) , m = 2^(alpha - 1) * 3^(beta - 1) , и (n)/(m) = 6 — целое. Ответ: а) Да б) Нет в) n = 2^(alpha) * 3^(beta) , где alpha, beta 1

а) Да; б) Нет; в) $n = 2^{\alpha} \cdot 3^{\beta},\ \alpha, \beta \ge 1$.