Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Ларин
Пусть n>1 — натуральное число, p — его наибольший простой делитель, q — его наименьший простой делитель, p=q, a=qn, b=pn и m=a−b.
а) Может ли быть m=3?
б) Может ли быть m=91?
в) Найдите все числа n, которые делятся на m.
Запишем каноническое разложение n=p1α1⋅p2α2⋅⋯⋅pkαk с простыми p1<p2<⋯<pk (все αi⩾1, k⩾2, поскольку p=q).
Тогда q=p1, p=pk, и
a=qn=p1α1−1⋅p2α2⋅⋯⋅pkαk,b=pn=p1α1⋅p2α2⋅⋯⋅pkαk−1, m=a−b=p1α1−1⋅p2α2⋅⋯⋅pkαk−1⋅(pk−p1).а) Да. Возьмём n=10=2⋅5. Тогда a=5, b=2, m=3.
б) Нет. Так как 91=7⋅13, то для множителя (pk−p1) в разложении m возможны лишь значения 7, 13 или 91 (других делителей 91 среди значений вида pk−p1 нет с учётом простоты pk). Все эти значения нечётные, значит, разность простых pk−p1 нечётна, а это возможно только при p1=2 (иначе оба простых нечётны, разность чётна).
Тогда pk−2∈{7;13;91}, то есть pk∈{9;15;93}. Но 9=32, 15=3⋅5, 93=3⋅31 — все составные. Противоречие, значит, m=91 невозможно.
в) Пусть n⋮m. Тогда
mn=p1α1−1⋅p2α2⋅⋯⋅pkαk−1⋅(pk−p1)p1α1⋅p2α2⋅⋯⋅pkαk=pk−p1p1⋅pk.Если p1>2 (т. е. p1 нечётно), то и pk нечётно, поэтому числитель p1⋅pk — нечётный, а знаменатель pk−p1 — чётный. Целочисленного деления нет.
Если p1=2, то mn=pk−22pk. Поскольку gcd(pk−2;pk)=gcd(pk−2;2)=1 (при pk>2 нечётном) и pk — простое, дробь несократима за исключением случая pk−2=1, то есть pk=3. При pk=3:
mn=3−22⋅3=6∈Z.Значит, единственный вариант канонического разложения: n имеет ровно два простых делителя 2 и 3, то есть
n=2α⋅3β, где α,β⩾1.Для любых таких n имеем a=2α−1⋅3β, b=2α⋅3β−1, m=2α−1⋅3β−1, и mn=6 — целое.
Ответ:
а) Да
б) Нет
в) n=2α⋅3β, где α,β⩾1