В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3 . Точка M делит ребро A_1D_1 в отношении A_1M : MD_1 = 2 : 3 , а точка K — середина ребра DD_1 . а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB_1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если MKC = 90^ , ADC = 60^ .

Призма прямая, поэтому боковые рёбра перпендикулярны основанию, а боковые грани — прямоугольники. а) Доказательство. 1. Линия пересечения плоскости MKC с боковой гранью BCC_1B_1 — отрезок CT MK , где T in BB_1 . 2. Треугольники TBC и KD_1M прямоугольные ( TBC = KD_1M = 90^ , призма прямая). Стороны BC = D_1M = 3 ( A_1M : MD_1 = 2 : 3 , A_1D_1 = AD = 5 , значит, MD_1 = 3 ). Углы BCT = D_1MK как острые с соответственно параллельными сторонами ( CT MK , BC MD_1 ). 3. Из равенства TBC = KD_1M следует BT = D_1K . По условию K — середина DD_1 , значит D_1K = (1)/(2)DD_1 = (1)/(2)BB_1 . Поэтому BT = (1)/(2)BB_1 , то есть T — середина BB_1 . б) Площадь сечения. Используем формулу S_(сеч) = (S_(проек))/(cos ) , где — угол между плоскостью верхнего основания (A_1B_1C_1) и секущей плоскостью (MKC) . Площадь верхнего основания. В равнобедренной трапеции A_1B_1C_1D_1 с A_1D_1 = 5 , B_1C_1 = 3 , A_1 = 60^ опустим B_1P A_1D_1 . Тогда A_1P = (5 - 3)/(2) = 1 , A_1B_1 = (A_1P)/(cos 60^) = 2 , B_1P = A_1B_1 sin 60^ = sqrt(3) . Отсюда S_(A_1B_1C_1D_1) = (5 + 3)/(2) * sqrt(3) = 4sqrt(3). Проекция сечения. Пусть L — точка пересечения секущей плоскости с ребром A_1B_1 . Из подобий QA_1M KD_1M ( k = (A_1M)/(D_1M) = (2)/(3) ) и QA_1L TB_1L получаем (A_1L)/(B_1L) = (2)/(3) , откуда A_1L = (2)/(5)A_1B_1 = (4)/(5) . Площадь MA_1L при A_1 = 60^ : S_(MA_1L) = (1)/(2) * A_1M * A_1L * sin 60^ = (1)/(2) * 2 * (4)/(5) * (sqrt(3))/(2) = (2sqrt(3))/(5). Проекция сечения MD_1C_1B_1L имеет площадь S_(проек) = S_(A_1B_1C_1D_1) - S_(MA_1L) = 4sqrt(3) - (2sqrt(3))/(5) = (18sqrt(3))/(5). Длина ML . По теореме косинусов в MA_1L : ML = sqrt(4 + (16)/(25) - 2 * 2 * (4)/(5) * (1)/(2)) = (2sqrt(19))/(5). Высота A_1E из A_1 в MA_1L к стороне ML : (1)/(2) * ML * A_1E = S_(MA_1L) , откуда A_1E = (2sqrt(3))/(sqrt(19)) . Нахождение высоты x = D_1K . Обозначим D_1K = x . Тогда MK^2 = MD_1^2 + D_1K^2 = 9 + x^2, CK^2 = CD^2 + DK^2 = 4 + x^2, и из MKC = 90^ : MC^2 = MK^2 + CK^2 = 13 + 2x^2. С другой стороны, MC^2 = MC_1^2 + CC_1^2 , где MC_1^2 = MD_1^2 + C_1D_1^2 - 2 * MD_1 * C_1D_1 * cos 60^ = 9 + 4 - 6 = 7 и CC_1^2 = (2x)^2 = 4x^2 . Получаем MC^2 = 7 + 4x^2 . Из равенства 13 + 2x^2 = 7 + 4x^2 находим x^2 = 3 , x = sqrt(3) . Угол между плоскостями. По теореме о трёх перпендикулярах QE ML , поэтому QEA_1 = . Из подобия A_1Q = (2)/(3)x = (2)/(sqrt(3)) . Тогда tg = (A_1Q)/(A_1E) = (2/sqrt(3))/(2sqrt(3)/sqrt(19)) = (sqrt(19))/(3), cos = (3)/(2sqrt(7)). Площадь сечения: S_(сеч) = (18sqrt(3))/(5) : (3)/(2sqrt(7)) = (18sqrt(3) * 2sqrt(7))/(5 * 3) = (12sqrt(21))/(5). Ответ: (12sqrt(21))/(5) .

$\dfrac{12\sqrt{21}}{5}$