Задача №16531

Найдите точку максимума функции $f(x)=x^2-22x+144\ln (x+11)\text{.}$

Ищем точки максимума функции $f(x)=x^2-22x+144\ln (x+11)\text{.}$

Область определения (ОДЗ):
$x+11>0\iff x>-11\text{.}$

Найдём производную:

Критические точки. Приравняем производную к нулю и умножим обе части на $x+11>0\text{:}$

Обе точки принадлежат области определения.

Определим характер экстремумов. Используем вторую производную $f^{\prime \prime }(x)=2-\frac{144}{(x+11{)}^2}\text{:}$

1. $f^{\prime \prime }(-7)=2-\frac{144}{16}=2-9=-7<0$ — точка максимума.
2. $f^{\prime \prime }(7)=2-\frac{144}{324}=2-\frac{4}{9}>0$ — точка минимума.

Точка максимума: $x=-7\text{.}$

Ответ: $-7$