Задача №16530

Плоскость $\alpha \text{,}$ содержащая диагональ $BD$ грани куба $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{,}$ пересекает ребро $B_1{C}_1$ и делит площадь боковой поверхности куба в отношении $2:1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $B_1{C}_1$ в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины $B_1\text{.}$
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит объём куба?

Пусть ребро куба равно $a\text{.}$ Плоскость $\alpha$ содержит диагональ $BD$ нижнего основания и пересекает рёбра $B_1{C}_1$ и $D_1{C}_1$ верхнего основания в точках $M$ и $N$ соответственно. Так как $\alpha$ пересекает параллельные плоскости верхнего и нижнего оснований по параллельным прямым, то $MN\parallel BD\text{.}$

а) Пусть $B_{1}M:M{C}_1=m:n\text{.}$ Так как $△B_1{C}_1{D}_1$ равнобедренный ($B_1{C}_1=D_1{C}_1$), то $D_{1}N:N{C}_1=m:n\text{.}$ Положим $B_{1}M=D_{1}N=mx\text{,}$ $M{C}_1=N{C}_1=nx\text{,}$ тогда $(m+n)x=a\text{.}$

Боковая поверхность куба разбивается плоскостью $\alpha$ на две части. Часть со стороны вершины $A$ (две полные грани $A{A}_1{B}_{1}B$ и $A{A}_1{D}_{1}D$ плюс два прямоугольных треугольника $B{B}_{1}M$ и $D{D}_{1}N$):

$$S_1=2a^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot mx=2a^2+amx.$$

Часть со стороны вершины $C$ (две равные трапеции $BM{C}_{1}C$ и $DN{C}_{1}C$):

$$S_2=2\cdot \frac{nx+a}{2}\cdot a=a(nx+a).$$

Из условия $S_1=2S_2$ получаем

$$2a^2+amx=2a(nx+a)\Rightarrow amx=2anx\Rightarrow m=2n.$$

Значит, $\frac{B_{1}M}{M{C}_1}=\frac{2}{1}\text{.}$

б) Из равенства $m=2n$ и $(m+n)x=a$ следует $nx=\frac{a}{3}\text{,}$ то есть $M{C}_1=\frac{a}{3}\text{.}$

Меньшая часть, отсечённая плоскостью $\alpha$ от куба со стороны вершины $C\text{,}$ — усечённая пирамида $BCDM{C}_{1}N$ с основаниями $△BCD$ и $△MN{C}_1\text{:}$

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}{a}^2.$$

$△MN{C}_1\sim △BDC$ с коэффициентом подобия $k=\frac{M{C}_1}{BC}=\frac{1}{3}\text{,}$ поэтому

$$S_{MN{C}_1}=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^2}{18}.$$

Высота усечённой пирамиды равна боковому ребру куба: $H=C{C}_1=a\text{.}$ По формуле объёма усечённой пирамиды:

$$V_2=\frac{1}{3}H\left(S_{BCD}+S_{MN{C}_1}+\sqrt{S_{BCD}\cdot S_{MN{C}_1}}\right)=\frac{1}{3}a\left(\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{18}+\frac{a^2}{6}\right)=\frac{1}{3}a\cdot \frac{13a^2}{18}=\frac{13a^3}{54}.$$

Объём большей части:

$$V_1=a^3-\frac{13a^3}{54}=\frac{41a^3}{54}.$$

Отношение $\frac{V_1}{V_2}=\frac{41}{13}\text{.}$

Ответ: $41:13\text{.}$