Плоскость alpha , содержащая диагональ BD грани куба ABCDA_1B_1C_1D_1 , пересекает ребро B_1C_1 и делит площадь боковой поверхности куба в отношении 2:1 . а) Докажите, что плоскость alpha делит ребро B_1C_1 в отношении 2:1 , считая от вершины B_1 . б) В каком отношении плоскость alpha делит объём куба?

Пусть ребро куба равно a . Плоскость alpha содержит диагональ BD нижнего основания и пересекает рёбра B_1C_1 и D_1C_1 верхнего основания в точках M и N соответственно. Так как alpha пересекает параллельные плоскости верхнего и нижнего оснований по параллельным прямым, то MN BD . а) Пусть B_1M : MC_1 = m : n . Так как B_1C_1D_1 равнобедренный ( B_1C_1 = D_1C_1 ), то D_1N : NC_1 = m : n . Положим B_1M = D_1N = mx , MC_1 = NC_1 = nx , тогда (m + n)x = a . Боковая поверхность куба разбивается плоскостью alpha на две части. Часть со стороны вершины A (две полные грани AA_1B_1B и AA_1D_1D плюс два прямоугольных треугольника BB_1M и DD_1N ): S_1 = 2a^2 + 2 * (1)/(2) * a * mx = 2a^2 + amx. Часть со стороны вершины C (две равные трапеции BMC_1C и DNC_1C ): S_2 = 2 * (nx + a)/(2) * a = a(nx + a). Из условия S_1 = 2S_2 получаем 2a^2 + amx = 2a(nx + a) => amx = 2anx => m = 2n. Значит, (B_1M)/(MC_1) = (2)/(1) . б) Из равенства m = 2n и (m + n)x = a следует nx = (a)/(3) , то есть MC_1 = (a)/(3) . Меньшая часть, отсечённая плоскостью alpha от куба со стороны вершины C , — усечённая пирамида BCDMC_1N с основаниями BCD и MNC_1 : S_(BCD) = (1)/(2)a^2. MNC_1 BDC с коэффициентом подобия k = (MC_1)/(BC) = (1)/(3) , поэтому S_(MNC_1) = (1)/(9) * (1)/(2)a^2 = (a^2)/(18). Высота усечённой пирамиды равна боковому ребру куба: H = CC_1 = a . По формуле объёма усечённой пирамиды: V_2 = (1)/(3)H(S_(BCD) + S_(MNC_1) + sqrt(S_(BCD) * S_(MNC_1))) = (1)/(3)a((a^2)/(2) + (a^2)/(18) + (a^2)/(6)) = (1)/(3)a * (13a^2)/(18) = (13a^3)/(54). Объём большей части: V_1 = a^3 - (13a^3)/(54) = (41a^3)/(54). Отношение (V_1)/(V_2) = (41)/(13) . Ответ: 41 : 13 .

$V_1 : V_2 = 41 : 13$ (отношение объёмов большей и меньшей частей).