Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Геометрия
Ларин
Окружность с центром на катете прямоугольного треугольника проходит через вершину прямого угла (см. рисунок). Найдите меньший из углов треугольника, если радиус окружности равен 2, а площадь треугольника равна 63.
Обозначим: C — вершина прямого угла, A и B — концы катетов (O — центр окружности на катете CB), D — точка касания окружности с гипотенузой AB.
1. Так как центр окружности O лежит на катете, а окружность проходит через точку C, то OC — радиус, OC=2. Окружность касается гипотенузы AB в точке D, значит OD⊥AB и OD=2.
2. Окружность вписана в угол CAB, её центр O лежит на биссектрисе этого угла: ∠CAO=∠BAO=α, ∠CAB=2α.
3. △ACB∼△ODB по двум углам (∠B — общий, ∠ACB=∠ODB=90∘). Отсюда ∠DOB=∠CAB=2α.
4. Из △ACO: AC=OC⋅ctg∠CAO=2ctgα.
5. Из △ODB: DB=OD⋅tg∠DOB=2tg2α.
6. AC=AD как отрезки касательных, тогда AB=AD+DB=AC+DB.
7. Площадь треугольника:
SACB=SACO+SAOB=21⋅AC⋅OC+21⋅AB⋅OD=4ctgα+2tg2α=63.С учётом 0<α<45∘ преобразуем:
2ctgα−23+tg2α−3=0⇔2(ctgα−ctg6π)+(tg2α−tg3π)=0.После преобразования к общему знаменателю получаем:
2sin(6π−α)⋅(sinα1−cos2αcos(6π−α))=0.Из sin(6π−α)=0 следует α=6π=30∘. Второй сомножитель приводит к уравнению 3t2+3t−2=0 при t=tgα, откуда tgα=33, т. е. α=30∘.
Таким образом, один острый угол треугольника равен 2α=60∘, другой — 30∘. Меньший из углов: 30∘.
Ответ: 30