Окружность с центром на катете прямоугольного треугольника проходит через вершину прямого угла (см. рисунок). Найдите меньший из углов треугольника, если радиус окружности равен 2, а площадь треугольника равна 6sqrt(3) .

Обозначим: C — вершина прямого угла, A и B — концы катетов ( O — центр окружности на катете CB ), D — точка касания окружности с гипотенузой AB . 1. Так как центр окружности O лежит на катете, а окружность проходит через точку C , то OC — радиус, OC = 2 . Окружность касается гипотенузы AB в точке D , значит OD AB и OD = 2 . 2. Окружность вписана в угол CAB , её центр O лежит на биссектрисе этого угла: CAO = BAO = alpha , CAB = 2alpha . 3. ACB ODB по двум углам ( B — общий, ACB = ODB = 90^ ). Отсюда DOB = CAB = 2alpha . 4. Из ACO : AC = OC * ctg CAO = 2ctg alpha . 5. Из ODB : DB = OD * tg DOB = 2tg 2alpha . 6. AC = AD как отрезки касательных, тогда AB = AD + DB = AC + DB . 7. Площадь треугольника: S_(ACB) = S_(ACO) + S_(AOB) = (1)/(2) * AC * OC + (1)/(2) * AB * OD = 4ctg alpha + 2tg 2alpha = 6sqrt(3). С учётом 0 < alpha < 45^ преобразуем: 2ctg alpha - 2sqrt(3) + tg 2alpha - sqrt(3) = 0 <=> 2(ctg alpha - ctg (pi)/(6)) + (tg 2alpha - tg (pi)/(3)) = 0. После преобразования к общему знаменателю получаем: 2sin ( (pi)/(6) - alpha ) * ( (1)/(sin alpha) - (cos ( pi6 - alpha ))/(cos 2alpha) ) = 0. Из sin ( (pi)/(6) - alpha ) = 0 следует alpha = (pi)/(6) = 30^ . Второй сомножитель приводит к уравнению 3t^2 + sqrt(3)t - 2 = 0 при t = tg alpha , откуда tg alpha = (sqrt(3))/(3) , т. е. alpha = 30^ . Таким образом, один острый угол треугольника равен 2alpha = 60^ , другой — 30^ . Меньший из углов: 30^ . Ответ: 30

30