Объем треугольной пирамиды равен 14 . Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5 , считая от вершины пирамиды. Найдите меньший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Пусть пирамида — SABC с вершиной S и основанием ABC . Плоскость проходит через сторону основания (например, BC ) и пересекает противоположное боковое ребро SA в точке K , причём SK:KA = 2:5 . Такая плоскость разбивает пирамиду на две части: 1. Меньшую пирамиду SBCK (вершина S , отсечённый кусок «у вершины»). 2. Большую — четырёхугольную пирамиду BCKA . Рассмотрим тетраэдры SBCA (исходная пирамида) и SBCK . Они имеют общую грань SBC , а четвёртые вершины A и K лежат на одной прямой SA . Так как S принадлежит плоскости SBC , то расстояние от точки X на прямой SA до плоскости SBC пропорционально длине SX : (d(K; SBC))/(d(A; SBC)) = (SK)/(SA) = (2)/(2+5) = (2)/(7). Поэтому (V_(SBCK))/(V_(SABC)) = (2)/(7) => V_(SBCK) = 14 * (2)/(7) = 4. Объём большей части: 14 - 4 = 10 . Меньший из объёмов равен 4 . Ответ: 4 .

4