Задача №16527

Пусть пирамида — $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC\text{.}$ Плоскость проходит через сторону основания (например, $BC$) и пересекает противоположное боковое ребро $SA$ в точке $K\text{,}$ причём $SK:KA=2:5\text{.}$

Такая плоскость разбивает пирамиду на две части:
1. Меньшую пирамиду $SBCK$ (вершина $S\text{,}$ отсечённый кусок «у вершины»).
2. Большую — четырёхугольную пирамиду $BCKA\text{.}$

Рассмотрим тетраэдры $SBCA$ (исходная пирамида) и $SBCK\text{.}$ Они имеют общую грань $SBC\text{,}$ а четвёртые вершины $A$ и $K$ лежат на одной прямой $SA\text{.}$ Так как $S$ принадлежит плоскости $SBC\text{,}$ то расстояние от точки $X$ на прямой $SA$ до плоскости $SBC$ пропорционально длине $SX\text{:}$

$$\frac{d(K;SBC)}{d(A;SBC)}=\frac{SK}{SA}=\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7}.$$

Поэтому

$$\frac{V_{SBCK}}{V_{SABC}}=\frac{2}{7}\Rightarrow V_{SBCK}=14\cdot \frac{2}{7}=4.$$

Объём большей части: $14-4=10\text{.}$ Меньший из объёмов равен $4\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$