Задача №16526

Про векторы $\vec{a}\text{,}$ $\vec{b}$ и $\vec{c}$ известно, что $2\vec{a}+3\vec{b}=\vec{c}\text{,}$ $|\vec{a}|=1\text{,}$ $|\vec{b}|=2\text{.}$ Найдите наименьшую возможную длину вектора $\vec{c}$ при этих условиях.

Используем тождество $|\vec{c}{|}^2=\vec{c}\cdot \vec{c}\text{:}$

Подставим $|\vec{a}|=1\text{,}$ $|\vec{b}|=2\text{:}$

Скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta =2\cos \theta \text{,}$ где $\theta$ — угол между векторами. Минимум достигается при $\cos \theta =-1\text{,}$ то есть при $\vec{a}\cdot \vec{b}=-2\text{:}$

Значит, $|\vec{c}{|}_{\min }=4\text{.}$

Ответ: 4.