Аристарх купил акции некоторой компании по цене 1 тысяча долларов за 1 шт. Рыночная цена этих акций ежегодно увеличивается на одну и ту же величину S тысяч долларов за 1 шт. Но за счёт инфляции, которая составляет 4% в год, реальная стоимость акций (т. е. покупательская способность денег, которые можно получить, продав акции) в конце N-го года составляет 0,96N от их рыночной цены.
Аристарх хочет продать свои акции в тот момент, когда они будут обладать наибольшей реальной стоимостью. В результате расчётов он вычислил, что для этого необходимо продать акции в конце седьмого года. Определите, при каких значениях S это возможно.
Цена 1 акции в конце N-го года: 1+SN тысяч долларов (линейный рост от 1 на величину S в год).
Реальная стоимость акции в конце N-го года с учётом инфляции:
f(N)=(1+SN)⋅0,96N.По условию максимум f(N) достигается ровно при N=7, то есть
f(7)>f(6)иf(7)>f(8).Покажем сначала, что последовательность f(N) унимодальна (сначала растёт, потом убывает). Рассмотрим отношение
f(N)f(N+1)=1+SN1+S(N+1)⋅0,96=0,96⋅(1+1+SNS).При S>0 дробь 1+SNS строго убывает по N, значит f(N)f(N+1) строго убывает. Поэтому существует не более одного перехода от «больше 1» к «меньше 1», и максимум — единственный (или достигается ровно в двух соседних точках).
Условие f(7)>f(6)⇔f(6)f(7)>1:
1+6S1+7S⋅0,96>1⇔0,96(1+7S)>1+6S⇔6,72S−6S>1−0,96. 0,72S>0,04⇔S>0,720,04=181.Условие f(7)>f(8)⇔f(7)f(8)<1:
1+7S1+8S⋅0,96<1⇔0,96(1+8S)<1+7S⇔7,68S−7S<1−0,96. 0,68S<0,04⇔S<0,680,04=171.Объединение: так как из доказанной монотонности отношения f(N)f(N+1) оба условия и достаточны, и необходимы, имеем
181<S<171.При S=181 получится f(6)=f(7), при S=171 — f(7)=f(8). В этих крайних случаях продавать ровно в конце 7-го года уже не обязательно (можно с тем же результатом и в 6-м или в 8-м), поэтому концы интервала не входят.
Ответ:
S∈(181;171).Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Текстовые и прикладные
Ларин