Аристарх купил акции некоторой компании по цене 1 тысяча долларов за 1 шт. Рыночная цена этих акций ежегодно увеличивается на одну и ту же величину S тысяч долларов за 1 шт. Но за счёт инфляции, которая составляет 4% в год, реальная стоимость акций (т. е. покупательская способность денег, которые можно получить, продав акции) в конце N -го года составляет 0,96^N от их рыночной цены. Аристарх хочет продать свои акции в тот момент, когда они будут обладать наибольшей реальной стоимостью. В результате расчётов он вычислил, что для этого необходимо продать акции в конце седьмого года. Определите, при каких значениях S это возможно.

Цена 1 акции в конце N -го года: 1 + SN тысяч долларов (линейный рост от 1 на величину S в год). Реальная стоимость акции в конце N -го года с учётом инфляции: f(N) = (1 + SN) * 0,96^N. По условию максимум f(N) достигается ровно при N = 7 , то есть f(7) > f(6) и f(7) > f(8). Покажем сначала, что последовательность f(N) унимодальна (сначала растёт, потом убывает). Рассмотрим отношение (f(N+1))/(f(N)) = (1 + S(N+1))/(1 + SN) * 0,96 = 0,96 * (1 + (S)/(1 + SN)). При S > 0 дробь (S)/(1 + SN) строго убывает по N , значит (f(N+1))/(f(N)) строго убывает. Поэтому существует не более одного перехода от «больше 1» к «меньше 1», и максимум — единственный (или достигается ровно в двух соседних точках). Условие f(7) > f(6) <=> (f(7))/(f(6)) > 1 : (1 + 7S)/(1 + 6S) * 0,96 > 1 <=> 0,96(1 + 7S) > 1 + 6S <=> 6,72S - 6S > 1 - 0,96. 0,72S > 0,04 <=> S > (0,04)/(0,72) = (1)/(18). Условие f(7) > f(8) <=> (f(8))/(f(7)) < 1 : (1 + 8S)/(1 + 7S) * 0,96 < 1 <=> 0,96(1 + 8S) < 1 + 7S <=> 7,68S - 7S < 1 - 0,96. 0,68S < 0,04 <=> S < (0,04)/(0,68) = (1)/(17). Объединение: так как из доказанной монотонности отношения (f(N+1))/(f(N)) оба условия и достаточны, и необходимы, имеем (1)/(18) < S < (1)/(17). При S = (1)/(18) получится f(6) = f(7) , при S = (1)/(17) — f(7) = f(8) . В этих крайних случаях продавать ровно в конце 7-го года уже не обязательно (можно с тем же результатом и в 6-м или в 8-м), поэтому концы интервала не входят. Ответ: S in ( (1)/(18);(1)/(17) ).

S ∈ (1/18; 1/17)