Задача №16524

Найдите корень уравнения
${\log }_{2-x}\left(x^3-3x^2-\frac{13}{8}x+\frac{31}{8}\right)+2{\log }_{(2-x{)}^2}(x+3)=1\text{.}$

Шаг 1. ОДЗ.
$2-x>0$ и $2-x\ne 1\text{,}$ то есть $x<2\text{,}$ $x\ne 1\text{.}$ Также $x+3>0\text{,}$ то есть $x>-3\text{.}$ И аргумент первого логарифма должен быть положительным.

Шаг 2. Упрощение.
При $2-x>0$ имеем:

Значит, $2{\log }_{(2-x{)}^2}(x+3)={\log }_{2-x}(x+3)\text{,}$ и уравнение становится:

По определению логарифма:

Шаг 3. Преобразование к многочлену.
Умножим обе части на $8\text{:}$

Раскроем скобки:
1. $x\cdot (8x^3-24x^2-13x+31)=8x^4-24x^3-13x^2+31x\text{;}$
2. $3\cdot (8x^3-24x^2-13x+31)=24x^3-72x^2-39x+93\text{.}$

Сумма: $8x^4+0\cdot x^3-85x^2-8x+93\text{.}$

Уравнение:

Шаг 4. Биквадратное уравнение.
Пусть $t=x^2\text{:}$

$t_1=\frac{154}{16}=\frac{77}{8}\text{,}$ $t_2=1\text{.}$ Корни:

Шаг 5. Отбор.
ОДЗ: $-3<x<2\text{,}$ $x\ne 1\text{.}$
1. $x=1$ — не подходит (основание становится равным $1$).
2. $x=\sqrt{77/8}\approx 3,10$ — не подходит (не удовлетворяет условию $x<2$).
3. $x=-\sqrt{77/8}\approx -3,10$ — не подходит (не удовлетворяет условию $x>-3$).
4. $x=-1$ — подходит.

Шаг 6. Проверка $x=-1\text{.}$
$2-(-1)=3\text{,}$ $(-1)+3=2\text{,}$ аргумент первого логарифма:

Проверка уравнения:

Ответ: -1.