Найдите корень уравнения _(2-x) (x^(3) - 3x^(2) - (13)/(8)x + (31)/(8)) + 2_((2-x)^(2))(x+3) = 1 .

Шаг 1. ОДЗ. 2-x > 0 и 2-x != 1 , то есть x < 2 , x != 1 . Также x+3 > 0 , то есть x > -3 . И аргумент первого логарифма должен быть положительным. Шаг 2. Упрощение. При 2-x > 0 имеем: _((2-x)^2)(x+3) = (log(x+3))/(log(2-x)^2) = (log(x+3))/(2log(2-x)) = (1)/(2)_(2-x)(x+3). Значит, 2_((2-x)^2)(x+3) = _(2-x)(x+3) , и уравнение становится: _(2-x) (x^3 - 3x^2 - (13)/(8)x + (31)/(8)) + _(2-x)(x+3) = 1, _(2-x) [ (x+3) (x^3 - 3x^2 - (13)/(8)x + (31)/(8)) ] = 1. По определению логарифма: (x+3) (x^3 - 3x^2 - (13)/(8)x + (31)/(8)) = 2 - x. Шаг 3. Преобразование к многочлену. Умножим обе части на 8 : (x+3)(8x^3 - 24x^2 - 13x + 31) = 8(2-x) = 16 - 8x. Раскроем скобки: 1. x * (8x^3 - 24x^2 - 13x + 31) = 8x^4 - 24x^3 - 13x^2 + 31x ; 2. 3 * (8x^3 - 24x^2 - 13x + 31) = 24x^3 - 72x^2 - 39x + 93 . Сумма: 8x^4 + 0 * x^3 - 85x^2 - 8x + 93 . Уравнение: 8x^4 - 85x^2 - 8x + 93 = 16 - 8x <=> 8x^4 - 85x^2 + 77 = 0. Шаг 4. Биквадратное уравнение. Пусть t = x^2 : 8t^2 - 85t + 77 = 0, D = 85^2 - 4 * 8 * 77 = 7225 - 2464 = 4761 = 69^2, t_(1,2) = (85 +- 69)/(16). t_1 = (154)/(16) = (77)/(8) , t_2 = 1 . Корни: x = +- 1, x = +- sqrt(77/8) ~ +- 3,10. Шаг 5. Отбор. ОДЗ: -3 < x < 2 , x != 1 . 1. x = 1 — не подходит (основание становится равным 1 ). 2. x = sqrt(77/8) ~ 3,10 — не подходит (не удовлетворяет условию x < 2 ). 3. x = -sqrt(77/8) ~ -3,10 — не подходит (не удовлетворяет условию x > -3 ). 4. x = -1 — подходит. Шаг 6. Проверка x = -1 . 2 - (-1) = 3 , (-1) + 3 = 2 , аргумент первого логарифма: (-1)^3 - 3(-1)^2 - (13)/(8) * (-1) + (31)/(8) = -1 - 3 + (13)/(8) + (31)/(8) = -4 + 5,5 = 1,5. Проверка уравнения: _3 1,5 + 2_9 2 = _3 1,5 + _3 2 = _3 (1,5 * 2) = _3 3 = 1. Ответ: -1.

-1