Найдите наибольшее значение функции y = sin x * e^(2sqrt(3)cos x - 3) на отрезке [ 0; (pi)/(2) ] .

Найдем максимум функции y = sin x * e^(2sqrt(3)cos x - 3) на отрезке [ 0; (pi)/(2) ] . 1. Найдём производную функции, используя формулу производной произведения: y' = cos x * e^(2sqrt(3)cos x - 3) + sin x * e^(2sqrt(3)cos x - 3) * (-2sqrt(3)sin x) = = e^(2sqrt(3)cos x - 3) (cos x - 2sqrt(3)sin^2 x). Экспонента всегда положительна, поэтому знак y' совпадает со знаком выражения cos x - 2sqrt(3)sin^2 x . 2. Найдём критические точки, решив уравнение cos x - 2sqrt(3)sin^2 x = 0 : cos x = 2sqrt(3)(1 - cos^2 x) <=> 2sqrt(3)cos^2 x + cos x - 2sqrt(3) = 0. Пусть u = cos x . Получаем квадратное уравнение: 2sqrt(3)u^2 + u - 2sqrt(3) = 0. Дискриминант уравнения: D = 1^2 - 4 * 2sqrt(3) * (-2sqrt(3)) = 1 + 48 = 49. Корни уравнения: u_1 = (-1 + 7)/(4sqrt(3)) = (6)/(4sqrt(3)) = (3)/(2sqrt(3)) = (sqrt(3))/(2); u_2 = (-1 - 7)/(4sqrt(3)) = -(8)/(4sqrt(3)) = -(2sqrt(3))/(3). Так как косинус на заданном отрезке принимает значения из интервала [0; 1] , нам подходит только корень u_1 = (sqrt(3))/(2) . Следовательно, cos x = (sqrt(3))/(2) , откуда x_0 = (pi)/(6) . Эта точка принадлежит отрезку [ 0; (pi)/(2) ] . 3. Определим характер критической точки: — при x < (pi)/(6) : производная положительна (например, при x = 0 выражение 1 - 0 > 0 ); — при x > (pi)/(6) : производная отрицательна (например, при x = (pi)/(2) выражение 0 - 2sqrt(3) < 0 ). Значит, x_0 = (pi)/(6) — точка максимума. 4. Вычислим значение функции в точке максимума: y( (pi)/(6) ) = sin (pi)/(6) * e^(2sqrt(3)cos (pi)/(6) - 3) = (1)/(2) * e^(2sqrt(3) * (sqrt(3))/(2) - 3) = (1)/(2) * e^(3 - 3) = 0,5 * e^0 = 0,5. Дополнительно проверим значения на границах отрезка: y(0) = 0 ; y( (pi)/(2) ) = 1 * e^(-3) ~ 0,05 . Оба значения меньше 0,5 . Ответ: 0,5

0,5