Задача №16523

Найдите наибольшее значение функции $y=\sin x\cdot e^{2\sqrt{3}\cos x-3}$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Найдем максимум функции $y=\sin x\cdot e^{2\sqrt{3}\cos x-3}$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

1. Найдём производную функции, используя формулу производной произведения:

Экспонента всегда положительна, поэтому знак $y^{\prime }$ совпадает со знаком выражения $\cos x-2\sqrt{3}{\sin }^{2}x\text{.}$

2. Найдём критические точки, решив уравнение $\cos x-2\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0\text{:}$

Пусть $u=\cos x\text{.}$ Получаем квадратное уравнение:

Дискриминант уравнения:

Корни уравнения:

Так как косинус на заданном отрезке принимает значения из интервала $[0;1]\text{,}$ нам подходит только корень $u_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Следовательно, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ откуда $x_0=\frac{\pi }{6}\text{.}$ Эта точка принадлежит отрезку $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

3. Определим характер критической точки:
— при $x<\frac{\pi }{6}\text{:}$ производная положительна (например, при $x=0$ выражение $1-0>0$);
— при $x>\frac{\pi }{6}\text{:}$ производная отрицательна (например, при $x=\frac{\pi }{2}$ выражение $0-2\sqrt{3}<0$).

Значит, $x_0=\frac{\pi }{6}$ — точка максимума.

4. Вычислим значение функции в точке максимума:

Дополнительно проверим значения на границах отрезка:
$y(0)=0\text{;}$
$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=1\cdot e^{-3}\approx 0,05\text{.}$
Оба значения меньше $0,5\text{.}$

Ответ: 0,5