Основанием прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является ромб ABCD . Плоскость alpha пересекает рёбра DD_1 и AA_1 в точках M и K соответственно так, что DM : MD_1 = 4 : 1 , AK : KA_1 = 2 : 3 , а ребро AB — в середине L . а) Докажите, что плоскость alpha проходит через точку C . б) Найдите расстояние от точки B до плоскости alpha , если сторона ромба равна 2sqrt(10) , тангенс острого угла ромба равен (3)/(4) , а высота призмы равна 10 .

а) Пусть alpha n (ABB_1) = KL и alpha n (CDD_1) = MX , где X in DC . Поскольку грани (ABB_1A_1) и (CDD_1C_1) параллельны (противоположные грани прямой призмы с основанием-ромбом), линии пересечения секущей плоскости с ними параллельны: MX KL . По условию (AK)/(AA_1) = (2)/(5) , (DM)/(DD_1) = (4)/(5) , поэтому AK = (2)/(5) h , DM = (4)/(5) h (где h — высота призмы), и (AK)/(DM) = (1)/(2) . Треугольники KAL и MDX имеют параллельные стороны KL MX , AA_1 DD_1 , поэтому они подобны по двум углам с коэффициентом подобия k = (AK)/(DM) = (1)/(2) . Значит, (AL)/(DX) = (1)/(2) , то есть DX = 2 * AL . Но AL = (1)/(2) AB (по условию L — середина AB ), а DC = AB , поэтому DX = AB = DC . Значит, точка X совпадает с C , и плоскость alpha проходит через вершину C . б) Из доказательства следует, что прямые MK и AD пересекаются в точке Q такой, что KAQ MDQ с коэффициентом (1)/(2) , откуда AQ = AD = BC . Треугольники QAL и CBL равны по стороне ( AL = BL , поскольку L — середина AB ) и двум прилежащим углам, поэтому (B; alpha) = (A; alpha) . Проведём AT QL в плоскости основания. По теореме о трёх перпендикулярах KT QL , и QL (KTA) . Опустим AP KT . Тогда AP KT и AP QL (так как AP c (KTA) , а QL (KTA) ), при этом KT, QL c alpha . Значит, AP alpha и (A; alpha) = AP . Вычислим площадь и стороны. Так как AB = 2sqrt(10) и tg BAD = (3)/(4) , то sin BAD = (3)/(5) , cos BAD = (4)/(5) , а cos ABC = -(4)/(5) . Площадь ромба: S_(ABCD) = AB^2 sin BAD = 40 * (3)/(5) = 24. Для треугольника LBC (где BL = sqrt(10) и BC = 2sqrt(10) ) по теореме косинусов: LC = sqrt(BC^2 + BL^2 - 2 * BC * BL * cos ABC) = sqrt(40 + 10 - 2 * 210 * 10 * (-(4)/(5))) = sqrt(82). По равенству треугольников QL = LC = sqrt(82) . Площадь S_( LAQ) = S_( LBC) = (1)/(4) S_(ABCD) = 6 . С другой стороны, S_( LAQ) = (1)/(2) QL * AT , откуда: AT = (2 * 6)/(sqrt(82)) = (12)/(sqrt(82)). Высота призмы равна 10 , тогда AK = (2)/(5) * 10 = 4 . По теореме Пифагора в ATK (где KAT = 90^ ): KT = sqrt(AT^2 + AK^2) = sqrt((144)/(82) + 16) = sqrt((144 + 1312)/(82)) = sqrt((1456)/(82)) = sqrt((728)/(41)). В том же треугольнике AP — высота, опущенная из A на гипотенузу KT : AP = (AT * AK)/(KT) = (12 * 4)/(sqrt(82) * sqrt(72841)) = (48)/(sqrt(1456)) = (48)/(4sqrt(91)) = (12)/(sqrt(91)). Ответ: б) (12)/(sqrt(91))

Б) $\dfrac{12}{\sqrt{91}}$