Задача №16518

Решите неравенство:

$$\frac{(2^x-16)({\log }_{x-1}x-{\log }_{x-1}4)}{(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+10})(|x-6|-|x|)}⩽0.$$

Применим метод рационализации. Поскольку функции $y=2^t$ и $y=\sqrt{t}$ — монотонно возрастающие, а $16=2^4\text{,}$ заменим выражения на знакоэквивалентные:

1. $2^x-16$ заменяем на $x-4\text{;}$
2. ${\log }_{x-1}x-{\log }_{x-1}4$ — на $(x-2)(x-4)$ (метод рационализации логарифмической разности);
3. $\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+10}$ — на $(x^2+2x)-(x^2+10)=2x-10\text{;}$
4. $|x-6|-|x|$ — на $(x-6{)}^2-x^2=-12x+36=-6(2x-6)\text{.}$

Исходное неравенство равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}\frac{(x-4)(x-2)(x-4)}{(2x-10)\cdot (-6)\cdot (2x-6)}⩽0,\\ x-1>0,\\ x-1\ne 1,\\ x>0,\\ x^2+2x⩾0,\\ x^2+10⩾0.\end{array}$$

Учтём ОДЗ: $x>1$ и $x\ne 2$ (поскольку $x-1\ne 1$). При $x>1$ имеем $x+2>3>0\text{,}$ поэтому $x(x+2)>0$ выполнено автоматически; также $x^2+10⩾10>0\text{.}$

Преобразуем дробь, объединяя числовые множители: $(2x-10)\cdot (-6)\cdot (2x-6)=-24(x-5)(x-3)\text{.}$ Учтём знак $-24$ и сократим на коэффициент, поменяв знак неравенства:

$$\frac{(x-2)(x-4{)}^2}{(x-5)(x-3)}⩾0,x>1,x\ne 2.$$

При $x\ne 4$ имеем $(x-4{)}^2>0$ и неравенство сводится к

$$\frac{x-2}{(x-5)(x-3)}⩾0.$$

Применим метод интервалов с критическими точками $x=2\text{,}$ $x=3\text{,}$ $x=5$ (числитель меняет знак в $x=2\text{,}$ знаменатель — в $x=3$ и $x=5$):
$x\in [2;3)\cup [5;+\infty )$ (без учёта ОДЗ).

С учётом ОДЗ ($x>1\text{,}$ $x\ne 2$) и того, что при $x=4$ числитель обращается в нуль и неравенство выполняется как равенство, получаем:
$x\in (2;3)\cup \{4\}\cup (5;+\infty )\text{.}$

Ответ: $(2;3)\cup \{4\}\cup (5;+\infty )\text{.}$