Решите неравенство: ((2^(x) - 16)(_(x-1) x - _(x-1) 4))/((sqrt(x^(2)+2x) - sqrt(x^(2)+10))(|x-6| - |x|)) 0.

Применим метод рационализации. Поскольку функции y = 2^(t) и y = sqrt(t) — монотонно возрастающие, а 16 = 2^(4) , заменим выражения на знакоэквивалентные: 1. 2^(x) - 16 заменяем на x - 4 ; 2. _(x-1) x - _(x-1) 4 — на (x - 2)(x - 4) (метод рационализации логарифмической разности); 3. sqrt(x^(2)+2x) - sqrt(x^(2)+10) — на (x^(2)+2x) - (x^(2)+10) = 2x - 10 ; 4. |x-6| - |x| — на (x-6)^(2) - x^(2) = -12x + 36 = -6(2x - 6) . Исходное неравенство равносильно системе: cases ((x-4)(x-2)(x-4))/((2x-10) * (-6) * (2x-6)) 0, x - 1 > 0, x - 1 != 1, x > 0, x^(2)+2x 0, x^(2)+10 0. cases Учтём ОДЗ: x > 1 и x != 2 (поскольку x - 1 != 1 ). При x > 1 имеем x + 2 > 3 > 0 , поэтому x(x+2) > 0 выполнено автоматически; также x^(2) + 10 10 > 0 . Преобразуем дробь, объединяя числовые множители: (2x-10) * (-6) * (2x-6) = -24(x-5)(x-3) . Учтём знак -24 и сократим на коэффициент, поменяв знак неравенства: ((x-2)(x-4)^(2))/((x-5)(x-3)) 0, x > 1, x != 2. При x != 4 имеем (x-4)^(2) > 0 и неравенство сводится к (x - 2)/((x-5)(x-3)) 0. Применим метод интервалов с критическими точками x = 2 , x = 3 , x = 5 (числитель меняет знак в x = 2 , знаменатель — в x = 3 и x = 5 ): x in [2; 3) U [5; +inf) (без учёта ОДЗ). С учётом ОДЗ ( x > 1 , x != 2 ) и того, что при x = 4 числитель обращается в нуль и неравенство выполняется как равенство, получаем: x in (2; 3) U 4 U (5; +inf) . Ответ: (2; 3) U 4 U (5; +inf) .

$(2;\ 3) \cup \{4\} \cup (5;\ +\infty)$