В треугольной пирамиде рёбра AB , AC и AD взаимно перпендикулярны, причём AB = AC . Точки L , F , Q и T — середины рёбер BD , DC , AC и AB соответственно. Известно, что плоскости DTQ и ALF перпендикулярны. а) Докажите, что AD : AB = 1 : 2 . б) Точки S и E — точки пересечения медиан треугольников ABD и ACD . Найдите объём многогранника TLFQES , если AD = 3 .
а) Так как AD AB и AD AC , то AD (ABC) . DAB = DAC по двум катетам ( AB = AC , AD — общий, прямые углы). DT , AL , DQ , AF — медианы. Тогда AE = AS , SE LF , где E и S — точки пересечения медиан в гранях ACD и ABD . Пусть M — середина SE , K — середина TQ . Так как SDE и LAF равнобедренные, то DM SE , AM SE . Значит, AMD = 90^ — линейный угол двугранного угла с ребром SE между плоскостями (DTQ) и (ALF) . По условию они перпендикулярны. Из свойств медиан: (DM)/(MK) = (DS)/(ST) = (2)/(1) . Из прямоугольного DAK (угол при A прямой, K in TQ ): (AD^2)/(AK^2) = (2)/(1) , откуда AD = sqrt(2) * AK . TAQ — прямоугольный равнобедренный, AK TQ , AT = sqrt(2) * AK . Следовательно, AD = AT = (1)/(2)AB , то есть AD : AB = 1 : 2 . б) Пусть V_(TLFQES) = V , тогда V = V_(ATLFQ) - V_(ATSEQ) . При AD = 3 : AB = AC = 2AD = 6 , BC = 6sqrt(2) , TQ = (1)/(2)BC = 3sqrt(2) , TL = (1)/(2)AD = (3)/(2) . TLFQ — прямоугольник, S_(TLFQ) = 3sqrt(2) * (3)/(2) = (9sqrt(2))/(2) . AK (TLF) (так как AK TQ и AK TL ), AK = (1)/(2)TQ = (3sqrt(2))/(2) . V_(ATLFQ) = (1)/(3) * (9sqrt(2))/(2) * (3sqrt(2))/(2) = 4,5. В трапеции TSEQ : SE = (2)/(3)TQ = 2sqrt(2) , MK = (1)/(3)DK = (1)/(3)sqrt(AD^2 + AK^2) = (1)/(3)sqrt(9 + (18)/(4)) = (sqrt(6))/(2) . S_(TSEQ) = (SE + TQ)/(2) * MK = (2sqrt(2) + 3sqrt(2))/(2) * (sqrt(6))/(2) = (5sqrt(3))/(2). AM (TSE) , AM = sqrt(DM * MK) = sqrt(2) * MK = sqrt(3) . V_(ATSEQ) = (1)/(3) * (5sqrt(3))/(2) * sqrt(3) = 2,5. Тогда V = 4,5 - 2,5 = 2 . Ответ: 2.
$2$