В треугольной пирамиде рёбра ( AB ), ( AC ) и ( AD ) взаимно перпендикулярны, причём ( AB = AC ). Точки ( L ), ( F ), ( Q ) и ( T ) — середины рёбер ( BD ), ( DC ), ( AC ) и ( AB ) соответственно. Известно, что плоскости ( DTQ ) и ( ALF ) перпендикулярны. а) Докажите, что ( AD : AB = 1 : 2 ). б) Точки ( S ) и ( E ) — точки пересечения медиан треугольников ( ABD ) и ( ACD ). Найдите объём многогранника ( TLFQES ), если ( AD = 3 ).

а) Так как ( AD ≅ AB ) и ( AD ≅ AC ), то ( AD ≅ (ABC) ). ( △ DAB = △ DAC ) по двум катетам (( AB = AC ), ( AD ) — общий, прямые углы). ( DT ), ( AL ), ( DQ ), ( AF ) — медианы. Тогда ( AE = AS ), ( SE ≅ LF ), где ( E ) и ( S ) — точки пересечения медиан в гранях ( ACD ) и ( ABD ). Пусть ( M ) — середина ( SE ), ( K ) — середина ( TQ ). Так как ( △ SDE ) и ( △ LAF ) равнобедренные, то ( DM ≅ SE ), ( AM ≅ SE ). Значит, ( ∠ AMD = 90^◦ ) — линейный угол двугранного угла с ребром ( SE ) между плоскостями ( (DTQ) ) и ( (ALF) ). По условию они перпендикулярны. Из свойств медиан: ( ⍅DMMK = ⍅DSST = ⍅21 ). Из прямоугольного ( △ DAK ) (угол при ( A ) прямой, ( K ⌳ TQ )): ( ⍅AD^2AK^2 = ⍅21 ), откуда ( AD = ⌃2 ≅ AK ). ( △ TAQ ) — прямоугольный равнобедренный, ( AK ≅ TQ ), ( AT = ⌃2 ≅ AK ). Следовательно, ( AD = AT = ⍅12AB ), то есть ( AD : AB = 1 : 2 ). б) Пусть ( V_(TLFQES) = V ), тогда ( V = V_(ATLFQ) - V_(ATSEQ) ). При ( AD = 3 ): ( AB = AC = 2AD = 6 ), ( BC = 6⌃2 ), ( TQ = ⍅12BC = 3⌃2 ), ( TL = ⍅12AD = ⍅32 ). ( TLFQ ) — прямоугольник, ( S_(TLFQ) = 3⌃2 ≅ ⍅32 = ⍅9⌃22 ). ( AK ≅ (TLF) ) (так как ( AK ≅ TQ ) и ( AK ≅ TL )), ( AK = ⍅12TQ = ⍅3⌃22 ). V_(ATLFQ) = ⍅13 ≅ ⍅9⌃22 ≅ ⍅3⌃22 = 4,5. В трапеции ( TSEQ ): ( SE = ⍅23TQ = 2⌃2 ), ( MK = ⍅13DK = ⍅13⌃AD^2 + AK^2 = ⍅13⌃9 + ⍅184 = ⍅⌃62 ). S_(TSEQ) = ⍅SE + TQ2 ≅ MK = ⍅2⌃2 + 3⌃22 ≅ ⍅⌃62 = ⍅5⌃32. ( AM ≅ (TSE) ), ( AM = ⌃DM ≅ MK = ⌃2 ≅ MK = ⌃3 ). V_(ATSEQ) = ⍅13 ≅ ⍅5⌃32 ≅ ⌃3 = 2,5. Тогда ( V = 4,5 - 2,5 = 2 ). Ответ: 2.

$2$