Задача №16517

В треугольной пирамиде рёбра $AB\text{,}$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, причём $AB=AC\text{.}$ Точки $L\text{,}$ $F\text{,}$ $Q$ и $T$ — середины рёбер $BD\text{,}$ $DC\text{,}$ $AC$ и $AB$ соответственно. Известно, что плоскости $DTQ$ и $ALF$ перпендикулярны.

а) Докажите, что $AD:AB=1:2\text{.}$
б) Точки $S$ и $E$ — точки пересечения медиан треугольников $ABD$ и $ACD\text{.}$ Найдите объём многогранника $TLFQES\text{,}$ если $AD=3\text{.}$

а) Так как $AD\perp AB$ и $AD\perp AC\text{,}$ то $AD\perp (ABC)\text{.}$ $△DAB=△DAC$ по двум катетам ($AB=AC\text{,}$ $AD$ — общий, прямые углы).

$DT\text{,}$ $AL\text{,}$ $DQ\text{,}$ $AF$ — медианы. Тогда $AE=AS\text{,}$ $SE\perp LF\text{,}$ где $E$ и $S$ — точки пересечения медиан в гранях $ACD$ и $ABD\text{.}$ Пусть $M$ — середина $SE\text{,}$ $K$ — середина $TQ\text{.}$

Так как $△SDE$ и $△LAF$ равнобедренные, то $DM\perp SE\text{,}$ $AM\perp SE\text{.}$ Значит, $\angle AMD=90^{\circ }$ — линейный угол двугранного угла с ребром $SE$ между плоскостями $(DTQ)$ и $(ALF)\text{.}$ По условию они перпендикулярны.

Из свойств медиан: $\frac{DM}{MK}=\frac{DS}{ST}=\frac{2}{1}\text{.}$

Из прямоугольного $△DAK$ (угол при $A$ прямой, $K\in TQ$): $\frac{A{D}^2}{A{K}^2}=\frac{2}{1}\text{,}$ откуда $AD=\sqrt{2}\cdot AK\text{.}$

$△TAQ$ — прямоугольный равнобедренный, $AK\perp TQ\text{,}$ $AT=\sqrt{2}\cdot AK\text{.}$ Следовательно, $AD=AT=\frac{1}{2}AB\text{,}$ то есть $AD:AB=1:2\text{.}$

б) Пусть $V_{TLFQES}=V\text{,}$ тогда $V=V_{ATLFQ}-V_{ATSEQ}\text{.}$

При $AD=3\text{:}$ $AB=AC=2AD=6\text{,}$ $BC=6\sqrt{2}\text{,}$ $TQ=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{2}\text{,}$ $TL=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}\text{.}$

$TLFQ$ — прямоугольник, $S_{TLFQ}=3\sqrt{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\text{.}$
$AK\perp (TLF)$ (так как $AK\perp TQ$ и $AK\perp TL$), $AK=\frac{1}{2}TQ=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{.}$

$$V_{ATLFQ}=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=4,5.$$

В трапеции $TSEQ\text{:}$ $SE=\frac{2}{3}TQ=2\sqrt{2}\text{,}$ $MK=\frac{1}{3}DK=\frac{1}{3}\sqrt{A{D}^2+A{K}^2}=\frac{1}{3}\sqrt{9+\frac{18}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\text{.}$

$$S_{TSEQ}=\frac{SE+TQ}{2}\cdot MK=\frac{2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

$AM\perp (TSE)\text{,}$ $AM=\sqrt{DM\cdot MK}=\sqrt{2}\cdot MK=\sqrt{3}\text{.}$

$$V_{ATSEQ}=\frac{1}{3}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=2,5.$$

Тогда $V=4,5-2,5=2\text{.}$

Ответ: 2.