Задача №16514

Имеются два сосуда. В одном содержится 3 литра $100\%$-ной серной кислоты, а в другом — 2 л воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый — один стакан смеси. Эту операцию повторили еще 2 раза. В результате во втором сосуде образовалась $42\%$-ная серная кислота. Каков процент кислоты в первом сосуде?

Пусть после $n$-й операции:

• $x_n$ — концентрация кислоты в 1-м сосуде (объём 3 л),
• $y_n$ — концентрация кислоты во 2-м сосуде (объём 2 л).

Изначально: $x_0=1$ ($100\%$), $y_0=0\text{.}$

Ключевое наблюдение — закон сохранения массы. Общее количество чистой серной кислоты не меняется ни от каких переливаний и равно начальному количеству:

По условию после трёх операций $y_3=0,42\text{,}$ то есть во 2-м сосуде 2 л $42\%$-ной кислоты — это $2\cdot 0,42=0,84$ л чистой кислоты.

Тогда в 1-м сосуде осталось $3-0,84=2,16$ л чистой кислоты, и концентрация в первом сосуде:

В этом решении объём стакана не понадобился — закон сохранения выводит ответ сразу.

Ответ: 72