Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Ларин
Коля записал уравнение x2+bx+c=0, которое имеет 2 различных натуральных корня x1 и x2 (b и c — некоторые числа). Петя записал уравнение x2+dx+e=0, которое имеет 2 различных натуральных корня x3 и x4 (d и e — некоторые числа). Маша посмотрела на уравнения Коли и Пети и записала уравнение
2x2+(b+d)x+c+e=0.а) Возможно ли, что уравнение Маши не имеет корней?
б) Возможно ли, что уравнение Маши имеет два различных корня и ровно один из них натуральный, если среди чисел x1,x2,x3,x4 ровно два — нечётны?
в) Известно, что b=d и ∣x1−x2∣>∣x3−x4∣, а уравнение Маши имеет два различных натуральных корня. Найдите наименьшее возможное значение ∣x1−x2∣.
Дано: уравнение Коли x2+bx+c=0 (натуральные корни x1,x2); уравнение Пети x2+dx+e=0 (натуральные корни x3,x4); уравнение Маши 2x2+(b+d)x+c+e=0.
а) Возможно ли, что уравнение Маши не имеет корней?
Да. Возьмём x2−5x+6=0 (корни 2;3) и x2−11x+30=0 (корни 5;6). Тогда уравнение Маши примет вид:
2x2−16x+36=0⇔x2−8x+18=(x−4)2+2>0.Следовательно, корней нет.
б) Возможно ли, что уравнение Маши имеет ровно два различных корня и ровно один из них натуральный, если среди x1,x2,x3,x4 ровно два — нечётны?
Нет. По теореме Виета x1+x2=−b, x3+x4=−d, x1x2=c, x3x4=e. Уравнение Маши после деления на 2:
x2−2x1+x2+x3+x4⋅x+2x1x2+x3x4=0.Абсцисса вершины соответствующей параболы:
x0=4x1+x2+x3+x4.Если ровно два из чисел x1,x2,x3,x4 нечётны, то их сумма x1+x2+x3+x4 чётная. Тогда x0 — либо целое число, либо целое число плюс 0,5. Поскольку корни параболы расположены симметрично относительно вершины, они одновременно либо оба являются натуральными, либо оба не являются натуральными. Случай «ровно один натуральный корень» невозможен.
в) Известно, что b=d и ∣x1−x2∣>∣x3−x4∣, а уравнение Маши имеет два различных натуральных корня. Найдите наименьшее возможное значение ∣x1−x2∣.
При b=d параболы Коли и Пети имеют общую абсциссу вершины −b/2. Из условия ∣x1−x2∣>∣x3−x4∣ получаем [x3;x4]⊂(x1;x2), то есть x1<x3<x4<x2. Все четыре числа — попарно различные натуральные.
Парабола Маши f(x)=x2−2x1+x2+x3+x4x+2x1x2+x3x4 имеет ту же абсциссу вершины. Рассмотрим значения: f(x1)>0, f(x3)<0, f(x4)<0, f(x2)>0. Следовательно, корни уравнения Маши x5∈(x1;x3) и x6∈(x4;x2).
Ищем минимум m=∣x1−x2∣ перебором возможных конфигураций.
Расстановка x1=2,x3=4,x4=5,x2=7 даёт m=5:
{(x−2)(x−7)=x2−9x+14,(x−4)(x−5)=x2−9x+20⇒x2−9x+17=0.Дискриминант D=81−68=13 не является квадратом, натуральных корней нет.
Расстановка x1=1,x2=8,x3=4,x4=5 даёт m=7:
{(x−1)(x−8)=x2−9x+8,(x−4)(x−5)=x2−9x+20⇒x2−9x+14=0.Корни x5=2, x6=7 — натуральные.
Для случая m=6 (например, x1=2,x3=4,x4=6,x2=8):
{(x−2)(x−8)=x2−10x+16,(x−4)(x−6)=x2−10x+24⇒x2−10x+20=0.Дискриминант D=100−80=20 не является квадратом, натуральных корней нет.
Следовательно, минимум равен 7.
Ответ:
а) Да
б) Нет
в) 7