Коля записал уравнение x^2 + bx + c = 0 , которое имеет 2 различных натуральных корня x_1 и x_2 ( b и c — некоторые числа). Петя записал уравнение x^2 + dx + e = 0 , которое имеет 2 различных натуральных корня x_3 и x_4 ( d и e — некоторые числа). Маша посмотрела на уравнения Коли и Пети и записала уравнение 2x^2 + (b + d)x + c + e = 0. а) Возможно ли, что уравнение Маши не имеет корней? б) Возможно ли, что уравнение Маши имеет два различных корня и ровно один из них натуральный, если среди чисел x_1, x_2, x_3, x_4 ровно два — нечётны? в) Известно, что b = d и |x_1 - x_2| > |x_3 - x_4| , а уравнение Маши имеет два различных натуральных корня. Найдите наименьшее возможное значение |x_1 - x_2| .

Дано: уравнение Коли x^2 + bx + c = 0 (натуральные корни x_1, x_2 ); уравнение Пети x^2 + dx + e = 0 (натуральные корни x_3, x_4 ); уравнение Маши 2x^2 + (b + d)x + c + e = 0 . а) Возможно ли, что уравнение Маши не имеет корней? Да. Возьмём x^2 - 5x + 6 = 0 (корни 2; 3 ) и x^2 - 11x + 30 = 0 (корни 5; 6 ). Тогда уравнение Маши примет вид: 2x^2 - 16x + 36 = 0 <=> x^2 - 8x + 18 = (x - 4)^2 + 2 > 0. Следовательно, корней нет. б) Возможно ли, что уравнение Маши имеет ровно два различных корня и ровно один из них натуральный, если среди x_1, x_2, x_3, x_4 ровно два — нечётны? Нет. По теореме Виета x_1 + x_2 = -b , x_3 + x_4 = -d , x_1 x_2 = c , x_3 x_4 = e . Уравнение Маши после деления на 2 : x^2 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)/(2) * x + (x_1 x_2 + x_3 x_4)/(2) = 0. Абсцисса вершины соответствующей параболы: x_0 = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)/(4). Если ровно два из чисел x_1, x_2, x_3, x_4 нечётны, то их сумма x_1 + x_2 + x_3 + x_4 чётная. Тогда x_0 — либо целое число, либо целое число плюс 0,5 . Поскольку корни параболы расположены симметрично относительно вершины, они одновременно либо оба являются натуральными, либо оба не являются натуральными. Случай «ровно один натуральный корень» невозможен. в) Известно, что b = d и |x_1 - x_2| > |x_3 - x_4| , а уравнение Маши имеет два различных натуральных корня. Найдите наименьшее возможное значение |x_1 - x_2| . При b = d параболы Коли и Пети имеют общую абсциссу вершины -b/2 . Из условия |x_1 - x_2| > |x_3 - x_4| получаем [x_3; x_4] c (x_1; x_2) , то есть x_1 < x_3 < x_4 < x_2 . Все четыре числа — попарно различные натуральные. Парабола Маши f(x) = x^2 - (x_1+x_2+x_3+x_4)/(2) x + (x_1 x_2 + x_3 x_4)/(2) имеет ту же абсциссу вершины. Рассмотрим значения: f(x_1) > 0 , f(x_3) < 0 , f(x_4) < 0 , f(x_2) > 0 . Следовательно, корни уравнения Маши x_5 in (x_1; x_3) и x_6 in (x_4; x_2) . Ищем минимум m = |x_1 - x_2| перебором возможных конфигураций. Расстановка x_1 = 2, x_3 = 4, x_4 = 5, x_2 = 7 даёт m = 5 : cases (x-2)(x-7) = x^2 - 9x + 14, (x-4)(x-5) = x^2 - 9x + 20 cases => x^2 - 9x + 17 = 0. Дискриминант D = 81 - 68 = 13 не является квадратом, натуральных корней нет. Расстановка x_1 = 1, x_2 = 8, x_3 = 4, x_4 = 5 даёт m = 7 : cases (x-1)(x-8) = x^2 - 9x + 8, (x-4)(x-5) = x^2 - 9x + 20 cases => x^2 - 9x + 14 = 0. Корни x_5 = 2 , x_6 = 7 — натуральные. Для случая m = 6 (например, x_1 = 2, x_3 = 4, x_4 = 6, x_2 = 8 ): cases (x-2)(x-8) = x^2 - 10x + 16, (x-4)(x-6) = x^2 - 10x + 24 cases => x^2 - 10x + 20 = 0. Дискриминант D = 100 - 80 = 20 не является квадратом, натуральных корней нет. Следовательно, минимум равен 7. Ответ: а) Да б) Нет в) 7

А) Да. Б) Нет. В) $|x_1 - x_2|_{\min} = 7$.