Задача №16512

Решите неравенство:

$$\frac{35\cdot 2^{|x|}}{4+10\cdot 2^{|x|}-6\cdot 4^{|x|}}⩾\frac{2^{|x|}+2}{3\cdot 2^{|x|}+1}+\frac{3\cdot 2^{|x|}-1}{2-2^{|x|}}.$$

Замена $t=2^{|x|}\text{.}$ Так как $|x|⩾0$ и функция $y=2^m$ возрастает, то $t⩾2^0=1\text{.}$

Преобразуем знаменатель левой части:

$$4+10\cdot 2^{|x|}-6\cdot 4^{|x|}=-6t^2+10t+4=-2(3t^2-5t-2)=-2(3t+1)(t-2).$$

(Использовано разложение: $3t^2-5t-2=(3t+1)(t-2)$).

Неравенство принимает вид:

$$\frac{-35t}{-2(3t+1)(t-2)}⩾\frac{t+2}{3t+1}-\frac{3t-1}{t-2}.$$

Переносим всё в одну сторону и приводим к общему знаменателю $2(3t+1)(t-2)\text{:}$

$$\frac{2(9t^2-1)-2(t^2-4)-35t}{2(t-2)(3t+1)}⩾0\iff \frac{16t^2-35t+6}{2(t-2)(3t+1)}⩾0.$$

Разложим числитель на множители: $16t^2-35t+6=(t-2)(16t-3)\text{.}$ Получаем:

$$\frac{(t-2)(16t-3)}{2(t-2)(3t+1)}⩾0\iff \frac{16t-3}{2(3t+1)}⩾0\text{при }t\ne 2.$$

При $t⩾1$ имеем $3t+1>0\text{,}$ поэтому условие сводится к $16t-3⩾0$ и $t\ne 2\text{,}$ то есть $t⩾\frac{3}{16}$ и $t\ne 2\text{.}$ С учётом ограничения $t⩾1>\frac{3}{16}$ остаётся:

$$t⩾1,t\ne 2.$$

Возвращаемся к переменной $x\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}{2}^{|x|}⩾2^0,\\ 2^{|x|}\ne 2;\end{array}\iff \{\begin{array}{l}|x|⩾0,\\ |x|\ne 1;\end{array}\iff x\ne \pm 1.$$

Ответ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\infty )\text{.}$