Найдите значение выражения (sin 20^ * sin 40^ * sin 60^ * sin 80^)/(sin 10^ * sin 30^ * sin 50^ * sin 70^) .

Воспользуемся тождеством sin(60^ - alpha) * sin alpha * sin(60^ + alpha) = (sin 3alpha)/(4). **Числитель:** sin 20^ * sin 40^ * sin 60^ * sin 80^ . Применим тождество при alpha = 20^ : sin 40^ * sin 20^ * sin 80^ = (sin 60^)/(4) = (sqrt(3))/(8). Тогда sin 20^ * sin 40^ * sin 60^ * sin 80^ = (sqrt(3))/(2) * (sqrt(3))/(8) = (3)/(16). **Знаменатель:** sin 10^ * sin 30^ * sin 50^ * sin 70^ . Применим тождество при alpha = 10^ : sin 50^ * sin 10^ * sin 70^ = (sin 30^)/(4) = (1)/(8). Тогда sin 10^ * sin 30^ * sin 50^ * sin 70^ = (1)/(2) * (1)/(8) = (1)/(16). **Итог:** (sin 20^ * sin 40^ * sin 60^ * sin 80^)/(sin 10^ * sin 30^ * sin 50^ * sin 70^) = (3/16)/(1/16) = 3. Ответ: 3.

3