Задача №16507

Пусть $a$ — сторона квадрата, точка $O$ находится внутри него, а $M\text{,}$ $N\text{,}$ $P\text{,}$ $Q$ — середины сторон $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $DA$ соответственно. Точка $O$ соединена с этими серединами и разбивает квадрат на четыре четырёхугольника: $AMOQ\text{,}$ $MBNO\text{,}$ $NCPO\text{,}$ $PDQO\text{.}$

Обозначим расстояния от $O$ до сторон $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $DA$ через $h_1\text{,}$ $h_2\text{,}$ $h_3\text{,}$ $h_4\text{.}$ Очевидно, $h_1+h_3=a$ и $h_2+h_4=a\text{.}$

Четырёхугольник $AMOQ$ разбивается отрезком $AO$ на треугольники $AMO$ и $AQO\text{:}$

$$S_{AMO}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot h_1=\frac{a}{4}{h}_1,S_{AQO}=\frac{1}{2}\cdot AQ\cdot h_4=\frac{a}{4}{h}_4.$$

Значит, $S_{AMOQ}=\frac{a}{4}(h_1+h_4)\text{.}$ Аналогично:

$$S_{MBNO}=\frac{a}{4}(h_1+h_2),S_{NCPO}=\frac{a}{4}(h_2+h_3),S_{PDQO}=\frac{a}{4}(h_3+h_4).$$

Сложим площади противоположных четырёхугольников:

$$S_{AMOQ}+S_{NCPO}=\frac{a}{4}(h_1+h_4+h_2+h_3)=\frac{a}{4}\cdot 2a=\frac{a^2}{2},$$ $$S_{MBNO}+S_{PDQO}=\frac{a}{4}(h_1+h_2+h_3+h_4)=\frac{a^2}{2}.$$

Таким образом, суммы площадей противоположных четырёхугольников равны.

По рисунку: верхний-левый — $24\text{,}$ верхний-правый — $30\text{,}$ нижний-правый — $40\text{,}$ искомый $S_{ABOC}$ — нижний-левый. Противоположны $24$ и $40\text{,}$ $30$ и $S_{ABOC}\text{:}$

$$24+40=30+S_{ABOC}⟹S_{ABOC}=34.$$

Ответ: $S_{ABOC}=34\text{.}$