Точка O , находящаяся внутри квадрата, соединена с серединами сторон. Площади трёх из образовавшихся четырёхугольников равны 24 , 30 , 40 (см. рисунок). Найдите площадь четырёхугольника ABOC .

Пусть a — сторона квадрата, точка O находится внутри него, а M , N , P , Q — середины сторон AB , BC , CD , DA соответственно. Точка O соединена с этими серединами и разбивает квадрат на четыре четырёхугольника: AMOQ , MBNO , NCPO , PDQO . Обозначим расстояния от O до сторон AB , BC , CD , DA через h_1 , h_2 , h_3 , h_4 . Очевидно, h_1+h_3=a и h_2+h_4=a . Четырёхугольник AMOQ разбивается отрезком AO на треугольники AMO и AQO : S_(AMO) = (1)/(2)* AM * h_1 = (a)/(4)h_1, S_(AQO) = (1)/(2)* AQ * h_4 = (a)/(4)h_4. Значит, S_(AMOQ) = (a)/(4)(h_1+h_4) . Аналогично: S_(MBNO) = (a)/(4)(h_1+h_2), S_(NCPO) = (a)/(4)(h_2+h_3), S_(PDQO) = (a)/(4)(h_3+h_4). Сложим площади противоположных четырёхугольников: S_(AMOQ)+S_(NCPO) = (a)/(4)(h_1+h_4+h_2+h_3) = (a)/(4)* 2a = (a^2)/(2), S_(MBNO)+S_(PDQO) = (a)/(4)(h_1+h_2+h_3+h_4) = (a^2)/(2). Таким образом, суммы площадей противоположных четырёхугольников равны. По рисунку: верхний-левый — 24 , верхний-правый — 30 , нижний-правый — 40 , искомый S_(ABOC) — нижний-левый. Противоположны 24 и 40 , 30 и S_(ABOC) : 24+40 = 30 + S_(ABOC) _(ABOC) = 34. Ответ: S_(ABOC) = 34 .

34