Задача №16504

В октябре 2025 года планируется взять кредит в банке в размере 800 тыс. рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

• в январе 2026, 2027 годов долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в октябре каждого года долг должен быть меньше на одну и ту же сумму по сравнению с концом предыдущего года;
• к октябрю 2030 года кредит должен быть выплачен.

Общая сумма всех платежей после полного погашения кредита составит 1332,8 тыс. рублей. Найдите $r\text{.}$

Все расчёты ведём в тысячах рублей. Долг гасится одинаковыми частями за 5 лет: $\frac{800}{5}=160$ тыс. руб./год.

Таблица основного долга по платёжным годам:

Переплаты (проценты) в первые два года:

$$p_1=0,25\cdot 800=200,p_2=0,25\cdot 640=160.$$

С третьего по пятый годы ставка $r\%$ применяется к убывающему долгу — переплаты образуют убывающую арифметическую прогрессию. Третья и пятая переплаты:

$$p_3=0,01r\cdot 480=4,8r,p_5=0,01r\cdot 160=1,6r.$$

Сумма выплат за последние три года (по формуле суммы арифметической прогрессии):

$$p_{3-5}=\frac{p_3+p_5}{2}\cdot 3=\frac{4,8r+1,6r}{2}\cdot 3=3,2r\cdot 3=9,6r.$$

Общая сумма всех платежей:

$$800+200+160+9,6r=1160+9,6r.$$

По условию эта сумма равна $1332,8\text{:}$

$$1160+9,6r=1332,8\iff 9,6r=172,8\iff r=18.$$

Ответ: $r=18\text{.}$