Задача №16498

Решите неравенство:

$$\frac{\sqrt{1-x^2+2x}+x-2}{{\log }_5\left(\frac{3}{2}-x\right)+{\log }_{5}2}⩽0.$$

Преобразуем неравенство:

$$\frac{\sqrt{1-x^2+2x}+x-2}{{\log }_5\left(\frac{3}{2}-x\right)+{\log }_{5}2}⩽0\iff \frac{\sqrt{1-x^2+2x}-(2-x)}{{\log }_5\left(\frac{3}{2}-x\right)-{\log }_5\frac{1}{2}}⩽0.$$

Так как $\frac{3}{2}-x>0\iff 2-x>\frac{1}{2}>0\text{,}$ имеем $2-x=\sqrt{(2-x{)}^2}\text{.}$

Функции $y=\sqrt{t}$ и $y={\log }_{5}m$ возрастающие, поэтому на области их определения знаки разностей значений совпадают со знаками разностей аргументов. Получаем равносильную систему:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1-x^2+2x-(2-x{)}^2}{1-x}⩽0\\ 1-x^2+2x⩾0\\ 1,5-x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{2x^2-6x+3}{x-1}⩽0\\ 1-\sqrt{2}⩽x⩽1+\sqrt{2}\\ x<1,5\end{array}.$$

Корни уравнения $2x^2-6x+3=0\text{:}$

$$x=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}.$$

Так как $\frac{3-\sqrt{3}}{2}<1$ и $\frac{3+\sqrt{3}}{2}>\frac{3}{2}\text{,}$ методом интервалов с учётом ОДЗ получаем:

$$\left[1-\sqrt{2};\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right]\cup (1;1,5).$$

Ответ: $\left[1-\sqrt{2};\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right]\cup (1;1,5)\text{.}$