Задача №16497

Решите неравенство

$${\left(x^2+x+1\right)}^{x+5/x+2}⩾x^2+x+1.$$

Заметим, что

$$x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$$

при всех $x\text{,}$ основание степени положительно. ОДЗ: $x\ne -2\text{.}$

Положим $u=x^2+x+1\text{.}$ Тогда:

1. $u=1\iff x^2+x=0\iff x\in \{-1;0\}\text{;}$
2. $u>1\iff x<-1$ или $x>0\text{;}$
3. $0<u<1\iff -1<x<0\text{.}$

Неравенство $u^{(x+5)/(x+2)}⩾u^1$ равносильно $u^{(x+5)/(x+2)-1}⩾1\text{,}$ то есть $u^{3/(x+2)}⩾1\text{.}$

Случай 1: $x=-1$ или $x=0\text{.}$ Тогда $u=1\text{,}$ $1^{\text{любое}}=1⩾1$ — верно. Эти точки включаем.

Случай 2: $u>1$ ($x<-1$ или $x>0$). Тогда

$$u^{3/(x+2)}⩾1\iff \frac{3}{x+2}⩾0\iff x+2>0\iff x>-2.$$

С учётом ограничения получаем $x\in (-2;-1)$ или $x\in (0;+\infty )\text{.}$

Случай 3: $0<u<1$ ($-1<x<0$). Тогда

$$u^{3/(x+2)}⩾1\iff \frac{3}{x+2}⩽0\iff x+2<0\iff x<-2.$$

Несовместимо с $-1<x<0\text{,}$ решений нет.

Объединяя все случаи:

$$x\in (-2;-1]\cup [0;+\infty ).$$

Эквивалентная запись через метод интервалов: $\frac{x(x+1)}{x+2}⩾0\text{,}$ что даёт ту же область (с учётом ОДЗ $x\ne -2$).

Ответ: $x\in (-2;-1]\cup [0;+\infty )\text{.}$