Решите неравенство (x^2 + x + 1)^((x+5)/(x+2)) x^2 + x + 1.

Заметим, что x^2 + x + 1 = (x + (1)/(2))^2 + (3)/(4) > 0 при всех x , основание степени положительно. ОДЗ: x != -2 . Положим u = x^2 + x + 1 . Тогда: 1. u = 1 <=> x^2 + x = 0 <=> x in -1; 0 ; 2. u > 1 <=> x < -1 или x > 0 ; 3. 0 < u < 1 <=> -1 < x < 0 . Неравенство u^((x+5)/(x+2)) u^(1) равносильно u^((x+5)/(x+2) - 1) 1 , то есть u^(3/(x+2)) 1 . Случай 1: x = -1 или x = 0 . Тогда u = 1 , 1^(любое) = 1 1 — верно. Эти точки включаем. Случай 2: u > 1 ( x < -1 или x > 0 ). Тогда u^(3/(x+2)) 1 <=> (3)/(x+2) 0 <=> x + 2 > 0 <=> x > -2. С учётом ограничения получаем x in (-2; -1) или x in (0; +inf) . Случай 3: 0 < u < 1 ( -1 < x < 0 ). Тогда u^(3/(x+2)) 1 <=> (3)/(x+2) 0 <=> x + 2 < 0 <=> x < -2. Несовместимо с -1 < x < 0 , решений нет. Объединяя все случаи: x in (-2; -1] U [0; +inf). Эквивалентная запись через метод интервалов: (x(x+1))/(x+2) 0 , что даёт ту же область (с учётом ОДЗ x != -2 ). Ответ: x in (-2; -1] U [0; +inf) .

$x \in (-2;\ -1] \cup [0;\ +\infty)$