Задача №16495

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $620$ МГц. Скорость погружения батискафа (в м/с) определяется по формуле $V=c\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0}\text{,}$ где $c=1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$ — частота испускаемых импульсов, $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала $f\text{,}$ если скорость погружения батискафа не должна превышать $12$ м/с. Ответ выразите в МГц.

Из формулы $V=c\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0}$ выразим $f$ через $V\text{:}$

При $V<c$ функция $f(V)$ монотонно возрастает: числитель растёт, знаменатель убывает (оставаясь положительным). Значит, наибольшее значение $f$ достигается при наибольшем допустимом $V\text{,}$ то есть при $V=12$ м/с.

Подставим $f_0=620$ МГц, $c=1500$ м/с, $V=12$ м/с:

Вычислим числитель: $620\cdot 1512=620\cdot 1500+620\cdot 12=930000+7440=937440\text{.}$

Деление: $\frac{937440}{1488}=630$ (проверка: $1488\cdot 630=1488\cdot 600+1488\cdot 30=892800+44640=937440$).

Ответ: $f_{\max }=630$ МГц.