Задача №16494

Найдите наименьшее значение функции $y=-7\ln (2-x)-7x+10$ на отрезке $[0;1,3]\text{.}$

Рассмотрим функцию $y(x)=-7\ln (2-x)-7x+10$ на отрезке $[0;1,3]\text{.}$ Область определения требует $2-x>0\text{,}$ то есть $x<2$ — отрезок целиком входит в область.

Найдём производную:

На $[0;1,3]$ знаменатель $2-x>0\text{,}$ поэтому знак $y^{\prime }$ совпадает со знаком $x-1\text{:}$

1. при $x\in [0;1)\text{:}$ $y^{\prime }<0\text{,}$ функция убывает;
2. при $x\in (1;1,3]\text{:}$ $y^{\prime }>0\text{,}$ функция возрастает.

Значит $x=1$ — точка минимума на отрезке. Вычислим:

Ответ: $3$